必修五不等式知识点总结

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c； a?b,c?d?a?c?b?d (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd

(5)倒数法则：a?b,ab?0?11? ab(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1)

二、一元二次不等式ax2?bx?c?0和ax2?bx?c?0(a?0)及其解法

??0 ??0 y?ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2) ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c 二次函数 y?ax2?bx?c ?a(x?x1)(x?x2)（a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) 有两相等实根 b x1?x2??2a ax2?bx?c?0 无实根 ?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ?x?xx?x1或x?x2? x1?x?x2? ?b?xx???? 2a?? ? R ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么

a?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a2?b2a?b2??ab?1122?ab（当a = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1?x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离

2、如果a?0,则不等式：

|x|?a???x?a或x??a |x|?a???x?a或x??a

|x|?a????a?x?a |x|?a????a?x?a

3．当c?0时， |ax?b|?c?ax?b?c或ax?b??c，

|ax?b|?c??c?ax?b?c；

当c?0时，|ax?b|?c?x?R，|ax?b|?c?x??． 4、解含有绝对值不等式的主要方法：

①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

②去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：|x|?a (a?0)??a?x?a，|x|?a (a?0)?x?a或x??a． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)

②无理不等式：转化为有理不等式求解

?f(x)g(x)?0f(x)?0??

g(x)?0g(x)??f(x)?0????定义域f(x)?g(x)??g(x)?0?

?f(x)?g(x)?

?f(x)?0?f(x)?0f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?0

2???f(x)?[g(x)]

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0

2??f(x)?[g(x)]③指数不等式：转化为代数不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

④对数不等式：转化为代数不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?六、三角不等式： |a|-|b|?|a?b|?|a|?|b|

七、不等式证明的几种常用方法

比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿

(x2?3x?2)(x?4)2例题：不等式?0的解为（ ）

x?3A．－1

C．x=4或－3

B．x<－3或1≤x≤2 D．x=4或x<－3或1≤x≤2

例题：求解不等式：|2x?1|?|x?2|?4．

十、练习试题

1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）

A．x?y B．x2?5 C．x2?4tan??1 D．2x?2?x

yxtan?2．若x,y?R且满足x?3y?2，则3x?27y?1的最小值是（ ） A．339 B．1?22 C．6 D．7 3．设x?0,y?0,A?x?y1?x?y, B?x1?x?y1?y，则A,B的大小关系是（ ）

A．A?B B．A?B C．A?B D．A?B

4．函数y?x?4?x?6的最小值为（ ） A．2 B．2 C．4 D5．不等式3?5?2x?9的解集为（ ）

A．[?2,1)[4,7) B．(?2,1](4,7] C．(?2,?1][4,7) D．(?2,1][4,7)8．已知x,y?0，且x2?y2?1，则x?y的最大值等于_____________。 9．设A?111210?210?1?1210?2??211?1，则A与1的大小关系是_____________。10．（12年浙江省文数第九题）若正数x,y满足x?3y?5xy，则3x?4y的最小值是

A.

24 285 B．

5 C．5 D．6

．6