如何利用方程模型突破难点解决实际问题

如何利用方程模型突破难点解决实际问题

武威第二十四中学

尊敬的各位领导、老师：

大家上午好！根据工作室安排，今天由我就《如何利用方程模 型突破难点解决实际问题》这个专题进行发言，不当之处望大家批评指正。

义务教育七年级教科书在第三章内容中明确指出：“以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的相等关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是难点”。可见，分析问题、建立模型是一元一次方程解决实际问题的核心。然而，对于刚进入初中的学生而言， 每一步都是硬骨头。因为他们的生活经验、思维方式及信息转化能力尚处于起步阶段，面对这些难题是一筹莫展。作为教师，该采取什么样的教学方式来突破这些难点呢？我认为应该从以下几个方面入手。

一、做好背景知识铺垫，体现数学问题的生活性

数学源于生活，服务于生活，特别是用方程解决实际问题更不能脱离实际。人教版教材在七年级上学期第三章就出现了列一元一次方程解决实际问题的内容。该部分内容学生难学，教师难教，其重要原因之一就是学生缺乏一定的生活背景，感觉问题很抽象。比如说，缴税问题、电话扣费问题、销售问题以及球赛积分问题等等，都会出现一些学生比较陌生的背景知识。按照收入分段缴税问题、电话扣费问题可能是学生闻所未闻的；销售问题中标价、售价、进价、利润及利率之间的关系大部分学生是模糊的，特别是乡村学生；球赛积分问题，是很多学生都未曾亲身体验过的，自然就不清楚如何积分。作为教师，一方面要充分考虑学生的实际生活经验，不应

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该盲目抱怨学生的理解能力，不能一味关注如何去找等量关系、如何去列方程，而应该适当填补学生生活知识的空白，把问题中所涉及到的背景知识先讲清楚讲透彻，帮助学生把握题意。另一方面，选题时一定要精心筛选，避免背景知识过于生僻的问题出现。

二、注重相似问题分类，体现数学思想的渐进性

利用方程模型解决实际问题的类型繁多、形式多样，让学生眼花缭乱，望而生畏。如何帮助学生克服畏惧感，让他们对实际问题有清晰的脉络是突破教学难点的关键。因此，我们可以将实际问题按照内容进行分类教学，集中突破。一般可以分为行程、工作量、销售、搭配、积分和年龄等六大类问题，当然每类问题还可以再细分若干小类。各类问题特点不同、所涉及的数量关系也不同，为避免因多种数量关系集中出现而给学生带来思维上的混乱，我们可以对教材内容进行适当调整，进行分类分步教学，体现数学建模思想的渐进性。

三、重视关键信息提炼，体现数学语言的严谨性

实际问题最大的特点是信息量大、数量关系复杂，如果没有梳理清楚就会束手无策、一筹莫展。如何提炼关键信息，并将信息转化成数学模型是教学中重要的任务。我认为要注意两点：第一：提炼信息要完整和严谨，做到不漏不偏。第二：数量关系呈现方式要形象和直观，可以通过画线示图、列表和图解等形式来呈现问题中的数量关系。下面举例说明；

例1：甲乙两地相距360Km，客车货车同时从甲地开往乙地.客车的速度是60Km/h，货车的速度是40Km/h，客车到达乙地停留半小时后，又以原来的速度返回甲地，问客车从出发到与货车相遇共需要多少小时？

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分析：首先要从题目中提炼出关键信息，关键信息有：“甲乙两地距离”、“同时同向出发”、“两车速度”、“停留半小时”、“原速返回”、和 “共需要”等六条。其次，要形象而直观地表示出问题之间的数量关系，可借助如下线示图来呈现：

客车行驶路程停留半小时货车行驶路程甲360Km乙

从线示图很明显看出：客车路程+货车路程=甲乙距离的两倍 即而可设客车从出发到与货车相遇共需要x小时，由题意可列方程

60(x-1/2)+40x=360×2

在对信息提炼时要严谨准确，特别是“停了半小时”和“共需要”两条信息十分关键。画线示图要尽可能多的将数量信息呈现在图形中。

例2：某商店有两种书包，每个小书包比大书包进价少10元，而它们的售后利润额相同.其中每个小书包的利率是30%，每个大书包的利率为20%，试求两种书包的进价.

分析：本题关键是弄清进价、利润和利率的关系，关键信息有：“大小书包的进价差”、“利润额相等”和“利率”等，若设小书包进价为x元，可用表格表示它们之间的关系： 书包类型 小书包 大书包 进价（元） 利率 x x+10 30% 20% 利润额（元） 相等关系 30%x 20%(x+10) 利润额相等 根据表格中数量关系易列方程：20%(x+10)=30%x.

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列表时，一定要注意清晰化、简洁化，最好能直观体现出数量关系。

当然在处理实际问题中的关键信息和数量关系时还会用到图 解法，比如错车和超车等问题，可以画出两车的简图来刻画路程关 系，学生就会一目了然。

四、倡导小组合作分享，体现数学方法的多样性

新课程理念倡导“学生为主体，教师为主导”的课堂模式，让学生在参与中互助，在互助中提升。一元一次方程的应用问题不仅难度大，而且内容枯燥乏味，如果“满堂灌”的话，老师讲得辛苦，学生听的更辛苦，效果却很微小。因此，我们要善于利用小组合作的力量，充分发挥学生的潜能，在课堂上给学生留出必要的时间探讨和分享。一方面，可以激发学生学习兴趣，调动其积极性。另一方面，学生在合作中会碰撞出更多的解决方法，往往会出现一题多解，这样既减轻了教师的教学任务，也拓宽了学生的思维。

列一元一次方程解决应用问题是初中阶段建立方程模型的起点，也是重点和难点。选择科学合理的教学方式不仅能使抽象问题具体化、深奥道理形象化、复杂问题简单化，同时也会为今后建立更的复杂方程模型奠定坚实思想与方法基础。

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