2012年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

由（Ⅰ）可知== ∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2 ∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时， ∴数列的前7项和最大，==7﹣ 点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力． 21．（12分）（2012?四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程； 2222（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x﹣y﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x﹣4mx+m+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内 可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3） 当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=化简可得3x﹣y﹣3=0 22而点（2，±3）在曲线3x﹣y﹣3=0上 22，即可确定的， 综上可知，轨迹C的方程为3x﹣y﹣3=0（x＞1）； 2222（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x﹣y﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x﹣4mx+m+3=0① ∴①有两根且均在（1，+∞）内 22设f（x）=x﹣4mx+m+3，∴22，∴m＞1，m≠2 设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR）， ∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+，xQ=2m﹣， ∴== ∵m＞1，且m≠2 ∴，且 ∴，且 ∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4） 点评： 本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围． 22．（14分）（2012?四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距． （Ⅰ）用a和n表示f（n）； （Ⅱ）求对所有n都有

成立的a的最小值；

与x轴正半

（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说

明理由． 考圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中点： 的应用． 专综合题；压轴题． 题： 分析： （Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a，则知，a≥2n+1对所有n成立，当a=1，2时，kn3nn成立的充要条件是a≥2n+1，即，n≥3时，a＞4=（1+3）＞2n+1，当n=0，nn3n3，由此可得a的最小值； ，即可证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a，证明当0＜x＜1时，． 解（Ⅰ）∵抛物线答： 解：与x轴正半轴相交于点A，∴A（） 对求导得y′=﹣2x ∴抛物线在点A处的切线方程为，∴n ∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a，则n3n成立的充要条件是a≥2n+1 ＞2n+1 3n3即知，a≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥nn当a=，n≥3时，a＞4=（1+3）n≥1+=1+2n+3当n=0，1，2时，∴a=时，对所有n都有； k成立 ∴a的最小值为（Ⅲ）由（Ⅰ）知（fk）=a，下面证明： 首先证明：当0＜x＜1时， 设函数g（x）=x（x﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=时，g′（x）＞0 2x（x﹣） 当0＜x＜时，g′（x）＜0；当故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0 ∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴ 由0＜a＜1知0＜a＜1，因此从而=k， ≥=＞= 点本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属评： 于中档题．