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适的数学方法求解。 最大利润与最小成本问题
利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。 要实现这 一最高目标,首先要合理确定产品的产量,除了要考虑市场的需求外,还要考虑 到产品的市场价格因素,这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化 关系。一般地说,总成本包括两部分:固定成本与可变成本,其中固定成本与产量 无关,而可变成本与产量有关,它随产量的增加而增加。如果设总成本为 C,固定成本为 C0,可变成本为 C1,产量为 Q,那么,总成本函数可表示为:C(Q) =C0+C1(Q)。 设产品销售量等于产量 Q,产品价格为 P,则收益函数为: R(Q)=P(Q)
例如:某厂生产一批产品,其固定成本为 2000元,每生产 1 吨产品的成本例如为60元,市场对该产品的需求规律为 Q = 1000-10 P (其中 p 为价格,Q 为需求量),求产量为多少时利润最大;最大利润时的价格又是多少?
因为总成本 C 是产量 Q 的函数,即C ( Q ) = 2000 + 60Q ,而销售总收益为:
QQ2R ( Q ) = PQ = [100-]Q= 100Q-于是总利润为 L ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q )
1010Q2= ﹣+ 40Q-2000
1011令 L ′ ( Q ) = -Q + 40 = 0 , 得驻点 Q = 200, L ′′ ( Q ) = -< 0 ,所以 L ( 200 )
55= 2000 为极大值,也是最大值。即当生产量Q = 200 吨时总利润最大,此时最大利润是 2000 元。当产量 Q = 200 吨时,价格P = 100 -的价格是80元。 税收额最大问题
问题归结为求解使税收收益最大的税率 (税率收益是税率与实际的市场销售 量的乘积)。假设某地区经长时间征税试验,政府能够确定某产品市场的消费量 与有关税率之间的关系是t =
Q200=100-=80时10107-3x2 (1)
其中 t 表示产品的税率, x 表示市场消费的数量。由于税率等于 t ,所以政府
的收益 R 就应等于税率和市场消费数量的积,即 R = xt = x
27-3x2 (2)
其中 R 和 t 被假设为非负值, R 的定义域为 0 ≤ x ≤ 3 ,由于 x = 0 和 x = 3 时,
R 都等于零,所以 R 在 0 与 3 之间达到极大值。对(2)式求导数有 R ′ =
27-6x227-3x2=0
解得驻点 x = 4.5 = 2.12 , 将它代人(2)式,即收益 R = 7.79 , 再将 x =
4.5=2.12带入(1)式,求得税率t=3.67%。 所以当税率为3.67%时,政府可获得的最大收益为7.79
综上所述,提高生产和工作效率,使企业获得最佳产出的经济效益,达到收 入最大、成本最低或收益最高等,这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的 问题。解决这类问题的思路是:第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式 及求出函数的定义域;第二利用求函数极值和最值的方法求解。求解函数最值的 方法去解决。可见,函数最值的应用是如此之广,用处是如此之大!
结论:通过对函数极值和最值及其应用的学习, 我们知道了极值和最值在函数值的 计算上的重要性,及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。通过学习我们也 了解到,函数极值定理应用也是其他学科的理论基础,将对其他学科的有关学习 和深入研究起着重要的意义。 我们可以通过极值的求解, 深入到最值的求解方法, 并且广泛推广,使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当,使极值和最值理论在生活中得到更充分的利用。 而且通过本文更是证明了数学是人类生产 生活必不可少的工具,它使我们的生活变得更快捷,更准确。
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