高数论文

适的数学方法求解。 最大利润与最小成本问题

利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。 要实现这 一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑 到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化 关系。一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量 无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。如果设总成本为 C，固定成本为 C0，可变成本为 C1，产量为 Q，那么，总成本函数可表示为：C（Q） =C0+C1(Q)。 设产品销售量等于产量 Q，产品价格为 P，则收益函数为： R(Q)=P(Q)

例如：某厂生产一批产品，其固定成本为 2000元，每生产 1 吨产品的成本例如为60元，市场对该产品的需求规律为 Q = 1000－10 P (其中 p 为价格，Q 为需求量)，求产量为多少时利润最大；最大利润时的价格又是多少？

因为总成本 C 是产量 Q 的函数，即C ( Q ) = 2000 + 60Q ，而销售总收益为：

QQ2R ( Q ) = PQ = [100－]Q= 100Q－于是总利润为 L ( Q ) = R ( Q ) － C ( Q )

1010Q2= ﹣+ 40Q－2000

1011令 L ′ ( Q ) = －Q + 40 = 0 , 得驻点 Q = 200, L ′′ ( Q ) = -< 0 ，所以 L ( 200 )

55= 2000 为极大值，也是最大值。即当生产量Q = 200 吨时总利润最大，此时最大利润是 2000 元。当产量 Q = 200 吨时，价格P = 100 －的价格是80元。 税收额最大问题

问题归结为求解使税收收益最大的税率 （税率收益是税率与实际的市场销售 量的乘积）。假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量 与有关税率之间的关系是t =

Q200=100－=80时10107-3x2 （1）

其中 t 表示产品的税率， x 表示市场消费的数量。由于税率等于 t ，所以政府

的收益 R 就应等于税率和市场消费数量的积，即 R = xt = x

27-3x2 （2）

其中 R 和 t 被假设为非负值， R 的定义域为 0 ≤ x ≤ 3 ，由于 x = 0 和 x = 3 时，

R 都等于零，所以 R 在 0 与 3 之间达到极大值。对（2）式求导数有 R ′ =

27-6x227-3x2=0

解得驻点 x = 4.5 = 2.12 ， 将它代人（2）式，即收益 R = 7.79 ， 再将 x =

4.5=2.12带入（1）式，求得税率t=3.67%。 所以当税率为3.67%时，政府可获得的最大收益为7.79

综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收 入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的 问题。解决这类问题的思路是：第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式 及求出函数的定义域；第二利用求函数极值和最值的方法求解。求解函数最值的 方法去解决。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！

结论：通过对函数极值和最值及其应用的学习， 我们知道了极值和最值在函数值的 计算上的重要性，及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。通过学习我们也 了解到，函数极值定理应用也是其他学科的理论基础，将对其他学科的有关学习 和深入研究起着重要的意义。 我们可以通过极值的求解， 深入到最值的求解方法， 并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当，使极值和最值理论在生活中得到更充分的利用。 而且通过本文更是证明了数学是人类生产 生活必不可少的工具，它使我们的生活变得更快捷，更准确。