人教版高考数学必修四第二章：平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题

分层训练·进阶冲关

A组 基础练(建议用时20分钟)

1.下列说法中正确的个数是 ( B ) (1)身高是一个向量. (2)∠AOB的两条边都是向量. (3)物理学中的加速度是向量.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.若|a|=|b|,那么要使a=b,两向量还需要具备 ( B ) A.方向相反 B.方向相同 C.共线 D.方向任意 3.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量

,

,

是 ( C )

A.有相同起点的向量 B.方向相同的向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 4.下列命题中正确的个数为 ( B )

①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同; ②若非零向量a与b共线,则a=b; ③四边形ABCD是平行四边形,则必有|④a∥b,则a,b方向相同或相反.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.若|

|=|

|且

=

,则四边形ABCD的形状为 ( C )

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形

6.如图所示,点C,D是线段AB的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有 ( B )

A.3个 B.6个 C.8个 D.12个

|=|

|;

7.如图所示,已知正方形ABCD边长为2,O为其中心,则||=.

8.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则命题:①C?A;②A∩B={a};③C?B中错误的是 ② .

9.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量线向量,则m= 0 .

10.如图,四边形ABCD为等腰梯形,有下列结论:①量;②

=

;③

>

与

是共线向

.其中正确的结论有 0 个.

是平行向量,与

是共

11.如图所示,已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形. (1)与(2)与(3)若|

相等的向量有哪些? 共线的向量有哪些? |=1.5,求|

|的大小.

【解析】(1)与相等的向量即与(2)与,(3)若|模以及

,

共线的向量即与,

,

,

,|=|

|=1.5,则|的模.

. |=|

同向且等长的向量,有,.

方向相同或相反的向量,有

|+|

|=2|

|=3.

的模、

的

12.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,求向量

【解析】因为正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,

所以||

|=

|=1,||==

==

, .

B组 提升练(建议用时20分钟)

13.下列说法正确的是 ( C )

A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反 B.若向量D.若

=

,

满足|

|>|

|,且

与

同向,则

>

C.若a≠b,则a与b可能是共线向量

,则A与C重合,B与D重合.

14.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是 ( D )

A.与B.与C.D.

与

相等的向量只有一个(不含的模相等的向量有9个(不含的模恰为

的模的

倍

不共线

) )

15.给出以下五个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相

反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 ①③④ .

16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形,则图中与向量

相等的向量是

和

.

17.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000和方向.

【解析】以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.

km到达D地.画图表示向量

,

,

,并指出向量

的模

据题设,B点在第一象限,C点在x轴正半轴上,D点在第四象限,向量,

,

如图所示,

由已知可得,

△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km. 又∠ACD=45°,CD=1 000所以AD=1 000故向量18.如图,已知(2)

=

,

=

km,

所以△ADC为等腰直角三角形,

km,∠CAD=45°.

km,方向为东南方向. .

=

=.

的模为1 000

求证:(1)△ABC≌△A′B′C′.

【证明】(1)因为所以|

|=|

又因为A不在所以|同理|

|=||=|

=

, ∥

.

|,且

上,所以AA′∥BB′. |. |,|

|=|

|.

所以四边形AA′B′B是平行四边形.

所以△ABC≌△A′B′C′.

(2)因为四边形AA′B′B是平行四边形, 所以

∥

,且|=

.

C组 培优练(建议用时15分钟)

19.已知向量a,b是两个非零向量,向量,则以下各式正确的是 ( D ) A.B.

==

或

=

,

分别是与a,b同方向的单位

|=|

|.所以

=

.

同理可证,

C.D.且

=与=

的长度相等

=

,求证:

=

.

20.如图所示,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又

【证明】因为所以|又因为所以|所以|所以

==|=|

|=|与|,||=|.

=,所以||=|

|且AB∥DC,

所以四边形ABCD是平行四边形,

|且DA∥CB. 的方向相同,

=

.因为

|=||.又

|, 与

的方向相同,

.同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以

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