二次函数中的三角形问题

………线…………○………… ………线…………○…………

考点：二次函数综合题．

5．抛物线y?ax?bx经过点A(4,0),B(2,2),连结OB,AB．

2由题意,得：点A?坐标为?22,?22, ∴A?B?的中点P的坐标为?2,?2当x??2时,y?????2?,

??1??22??2?2??2??22 ∴点P不在抛物线上. 考点：二次函数综合题．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对2……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………(1)求a、b的值；

称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛

(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；

物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点.

(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由． yA【答案】（1）a??12,b?2；（2）证明见解析；（3）点P不在抛物线上. ED【解析】 D'F试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；

OBCx（2）过B作BC⊥x轴于C,根据A、B的坐标易求得OC=BC=AC=2,由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都 是45°,即可证得△OAB是等腰直角三角形；

（1）求抛物线的解析式； （3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时,OB′正好落在y轴上,易求得OB、AB的长,即可得到OB′、（2）若点D′恰好落在y轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；

A′B′的长,从而可得到A′、B′的坐标,进而可得到A′B′的中点P点的坐标,然后代入抛物线中进行验证（3）直线CD′交对称轴AB于点F,

即可．

①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值； 试题解析：⑴ 由题意,得：??16a?4b?0②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.

?4a?2b?2,

【答案】（1）y??1解得：a??15x2?65x?66115;（2）(8,10); （3）①36;②26. 2,b?2； 【解析】

⑵ 过点B作BC?x轴于点C,则OC?BC?AC?2,

试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解; （2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解; （3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解;

②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论.

试题解析：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c的顶点A的坐标为（3,15）， ∴可设抛物线的解析式为y?a?x?3?2?15.

∴?BOC??OBC??BAC??ABC?45?, ∵抛物线过点（－2，10）, ∴10?a??2?3?2?15.解得a??15. ∴?OBA?90?,OB?AB,

∴?OAB是等腰直角三角形；

∴抛物线的解析式为y??1?x?3?2?15,即y??1x2666⑶ ∵?OAB是等腰直角三角形,OA?4, 55?5x?5. ∴OB?AB?22,

（2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE=x-3, DC=ｙ.

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………线…………○…………

2由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=62?x2, D′E=3??y?6?,

2?62?x2?y?x?8?根据轴对称的性质,有D′C=DC, D′E= DE,即?,解得. ?22y?10???3??y?6??x?3 ∴此时D点的坐标为(8,10).

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．

2

试题解析：（1）解方程x+4x-5=0，得x=-5或x=1， 由于x1＜x2，则有x1=-5，x2=1， ∴A（-5，0），B（1，0）．

抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x-1）（a＞0）， ∴对称轴为直线x=-2，顶点D的坐标为（-2，-9a），

………线…………○………… （3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF.

设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,

在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF2=BF2+D′C2,即(D′C- D′F)2=BF2+D′C2

.

令x=0，得y=-5a，

∴?a?c?2=c2+b2,整理,得c=a2?b2∴C点的坐标为（0，-5a）．

2a. 依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， a2?b2过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a． ∵△ED′F∽△CDE，∴D?Fa2?b2S△ACD=S梯形ADEO-S△CDE-S△AOC ED?ED?CD,即2ab?ba,即2?b2,即b22b1a2?3,即a?36. =1∴DE:DC=12（DE+OA）?OE-12DE?CE-111136. 2OA?OC=2（2+5）?9a-2×2×4a-2×5×5a=15a， ②存在,由①可知BE:BC=126. 而S11△ABC=2AB?OC=2×6×5a=15a，

∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1；

（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2

，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2

， 设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2

． ∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2

，

考点：1.动点问题;2.二次函数的性质;3. 勾股定理;4. 轴对称的性质;5.全等和相似三角形的判定和性质.

7．已知二次函数y=ax2

+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x即（9+81a2

）+（4+16a2

）=25+25a2

，化简得：a2

11，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点

=C，x，x2

12是方程x+4x﹣5=0的两根．

6， （1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值； ∵a＞0， （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式． ∴a=6【答案】（1）1：1；（2）y=6x2+26x﹣566， 636． 【解析】 ∴抛物线的解析式为：y=6试题分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别6（x+5）（x﹣1）=6226566x+3x﹣6．

用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；

考点: 二次函数综合题．

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……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

8．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

2

（1）求m的值及点A的坐标；

（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′． ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；

②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2

取得最小值时点E′的由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．

坐标；

在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2

，

③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

得A′B2=(2–n)2+42=n2

-4n+20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， 【答案】（1）m=1,A(-2,0); (2)①3,②点E′的坐标是（1，1）,③点E′的坐标是（67，1）．

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=n． 【解析】

又BE=OB-OE=3.

试题分析：(1)将点代入解析式即可求出m的值，这样写出函数解析式，求出A点坐标；

∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2

+9，

（2）①将E点的坐标代入二次函数解析式，即可求出AA′；②连接EE′，构造直角三角形，利用勾股定理

∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–1)2

+27．

即可求出A′B2+BE′2

当n=1时，其最小时，即可求出E′的坐标；③过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 当n=1时，A′B2+BE′2

可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）． 3．易证△AB′A′≌△EBE′，当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3． 取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐标 易证△AB′A′≌△EBE′， 试题解析： ∴B′A′=BE′，

解：（1）由题意可知4m=4，m=1． ∴A′B+BE′=A′B+B′A′．

∴二次函数的解析式为y??x2?4． 当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′， ∴点A的坐标为（-2,0）． ∴AA'AB'3（2）①∵点E（0,1），由题意可知， A'O?OB?4， ?x2?4?1．

∴AA′=37?2?67，

解得x??3． ∴AA′=3． ∴EE′=AA′=67，

②如图，连接EE′．

∴点E′的坐标是（67，1）．

考点：1.二次函数综合题；2.平移.

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