江苏省南京市2018-2019学年高三第三次模拟考试数学试题

设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)． 因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0． ①

2 2??x0??x?x0??x???由AB＝， ? ?y0?＝?y?，即??0 1??y0??y?得

?2 x0＋2 y0＝x，

? ………………………………6分 ? y0＝y，

??x0＝1x－y，

2即?② ? y0＝y．?

将②代入①得x－4y＋4＝0， 所

以

直

线

l1

的

方

程

为

x

－

4y

＋

4

＝

0． ………………………………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：解法一

π

在直线?sin(θ－)＝－3中，令θ＝0，得?＝2.

3

所以圆C的圆心坐标

0)． ………………………………4分

π

因为圆C经过点P(2，)，

3所

以

圆

C

的

半

径

PC

＝

π22+22－2×2×2×cos

3

标

方

程

＝

为

C(2

，

2， ……………………………6分

所以圆C的极坐

?＝

4cosθ． ……………………………10分

解法二

以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，

则直线方程为y＝3x－23，P的直角坐标为(1，3)， 令y＝0，得x＝2，所0)， ………………………………4分

所

以

圆

C

的

半

径

PC

＝

以

C(2

，

(2－1)2+(0－3)2

=2， ………………………………6分

的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即

0， ………………………………8分

所以圆

C

所

以

圆

C

的

极

坐

标

方

4cosθ. ……………………………10分D．选修4—5：不等式选讲

x2＋y2－4x＝

程?＝

解：因为(12＋12＋12)[(2a＋b)2＋(2b＋c)2＋(2c＋a)2]≥(1·2a＋b＋1·2b＋c＋1·2c＋a)2，

即

(

2a＋b

＋

2b＋c

＋

2c＋a

)2

≤

9(a

＋

b

＋

c)． ……………………………4分

因为

a＋b＋c＝1，所以(

2a＋b＋

2b＋c＋

2c＋a)2≤

9， ……………………………6分

所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≤3，

1

当且仅当2a＋b＝2b＋c＝2c＋a，即a＝b＝c＝时等号成立．

3所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a3. ……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．（本小题满分10分） 解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，

p

所以＋1＝2，

2

的

最

大

值 为

所以p＝

2. ……………………………3分（2）解法一

由(1)得抛物线方程为y2＝4x． 因为点

A(1，a) (a＞0)是抛物线

C

上一点，所以

a＝

2． ……………………………4分

设直线AM方程为x－1＝m (y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

?x－1＝m (y－2)，

由?2消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0， ?y＝4x，

即(y－2)( y－4m＋2)＝0，所以y1

2． ……………………………6分

因为

AM⊥AN，所以－

1

m

代

m，得

y2＝－

4－m

＝4m－

2， ……………………………8分

所

以

d1d2

＝

|(y1

＋

2)

(y2

＋

2)|

＝

|4m×(

－

4m

)|

＝

16． ……………………………10分

解法二

由(1)得抛物线方程为y2＝4x．

因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2． ……………………………4

分

→→设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则AM·AN＝(x1－1)(x2－1)＋( y1－2) (y2－2)＝0． ……6

分

又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在y2＝4x上， 所以(y21－4) (y22－4)＋16( y1－2) (y2－2)＝0， 即[( y1＋2) (y2＋2)＋16]( y1－2) (y2－2)＝0． 因为( y1－2) (y2－2)≠0，所以( y1＋2) (y2＋2)＝－16， ……………………………8所

以

d1d2

＝

|(y1

＋

2)

(y2

＋

2)|

＝

分

16． ……………………………10分23．（本小题满分10分） 解：（1）因为fn(x)＝∑A

i＝1n－1i＝1n－1

n－i

nx(x＋1)…(x＋i－1)，

n－in

gn(1)＝An＋1×2×…×n＝2×n!， n×1×…×i＝∑n!＝(n－1)×n!，

i＝1n－1

所以fn(1)＝∑A

所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15． ……………………………3

分

（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，

f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)， 猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)． ……………………………5分

下面用数学归纳法证明： 当n＝2时，命题成立；

假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即fk(x)＋gk(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，

因为fk＋1(x)＝∑A

i＝1k－1i＝1k

k＋1－i

k＋1x(x＋1)…(x＋i－1)

k－i

1

＝∑(k＋1)Akx(x＋1)…(x＋i－1)＋Ak＋1x(x＋1)…(x＋k－1) ＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)，

所以fk＋1(x)＋gk＋1(x)＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)＋Ak＋1＋x(x＋1)…(x＋k) ＝(k+1)[ fk(x)＋x(x＋1)…(x＋k－1)＋Ak]＋x(x＋1)…(x＋k) ＝(k+1)[ fk(x)＋gk(x)]＋x(x＋1)…(x＋k)

＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k) ＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，

即n＝k＋1时命题也成立． 因此任意n∈N*且n≥2，有fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)． …………………

9分

所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合为 {－1，－2，…，－n}． ……………………………10分

高考学子们：努力的拼搏写就出孜孜不倦，辛勤的汗水洒落处点点花开，寂静的无人处蕴含着丝丝心声，美好的画卷中展现出似锦前程，胜利的号角在耳边回响，六月的骄阳似火绽放着无悔激情高考顺利，一切如意k＋1

k