江苏省南京市2018-2019学年高三第三次模拟考试数学试题

所以PD∥

OM， ……………………………………9分

所

以

PMPC

＝

DO

． ……………………………………11分 DC

因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O， 所以O为?ABC重心，所以所

以

DO1＝， DC3PM

＝

13

PC

＝

2

． …………………………………14分 3

解法二

如图2，取BE的中点N，连接PN． 因为D，N分别为AB，BE的中点， 所以DN∥AE．

又DN?平面AEM，AE?平面AEM， 所以DN∥平面AEM．

又因为PD∥平面AEM，DN?平面PDN，PD?平面PDN，DN∩PD＝D， 所以平面PDN∥平面AEM． ………………………………9分 又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，

PMNE

所以ME∥PN，所以＝． ………………………………

PCNC

11分

因为E，N分别为BC，BE的中点，

NE112

所以＝，所以PM＝PC＝． ………………………………

NC333

14分

17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC．

π在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，

3所

以

∠CBA

＝

π6

，

AB

＝

4

，

BC

＝

A D B (图2)

E C M P N 23． ………………………………2分

π

因为BC为直径，所以∠BDC＝，

2

所以BD＝BC cosθ＝23

cosθ． ………………………………4分 ππ

（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝23cosθ，

63

DFBFBD

所以＝＝，

ππsin∠BFDsin(θ＋)sin(－θ)

62所

以

DF

＝

4cosθsin(

π

6

＋

θ)， ………………………………6分

且

BF

＝

4cos

2

θ，所以DE＝AF=4－4cos

2

θ， ………………………………8分

π

所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4 cosθsin(＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3

6

＝

2

sin(2θ

－

π6

)

＋

3． …………………………………12分

ππππ5π因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，

32266

πππ所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合． ……………

623

13分

答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………

14分

18．(本小题满分16分)

c331

解（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝a2－c2＝a， …………………………………

a2222分

x2y2

所以椭圆C的方程为2＋2＝1．

4bb

83169

因为椭圆C经过点P(，)，所以＝1， 2＋5525b25b2x22所以b＝1，所以椭圆C的方程为＋y＝1． …………………………………

4

2

4分

（2）解法一

设N(n，0)，

2()2

22524

当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，

55425则

224→→24

NA?NB＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－

55525

4

， …………………………………6分 5

→→当l经过左?右顶点时，NA?NB＝(－2－n)(2－n)＝n2－4． 令

n2

－

45

n

－

45

＝

n2

－

4

，

得

n

＝

4． ……………………………………8分

→→2

下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有NA?NB＝12．

5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x22

＋y＝1，416216222由消去y，得(4k＋1)x－kx＋k－4＝0， 2525y＝k(x－)，

5

???

所以

x1

＋

x2

＝

162k54k2＋1

，

x1x2

＝

162

k－425

， …………………………………10分

4k2＋1

→→所以NA?NB＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2

22

＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)

55＝(k2＋1)x1x2－(4＋

k2 …………………………………12分

162162

k－4k2522542

＝(k＋1)2－(4＋k)2＋16＋k2

54k＋1254k＋1161624

(k2＋1)(k2－4)－k2(4＋k2)＋k2(4k2＋1)

255525

＝＋16

4k2＋1

－16k2－4＝＋16＝12．

4k2＋1

→→所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得NA?NB为定值． …………………………………16分

224

k)(x1＋x2)＋16＋525

解法二

2

设N(n，0)，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－)，

5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x22

＋y＝1，416216222由消去y，得(4k＋1)x－kx＋k－4＝0， 2525y＝k(x－)，

5

???

162162

kk－4525

所以x1＋x2＝2，x1x2＝2， …………………………………

4k＋14k＋16分

→→22

所以NA?NB＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(x1－n)(x2－n)＋k2(x1－)(x2－)

55

24

＝(k2＋1)x1x2－(n＋k2)(x1＋x2)＋n2＋k2

525

(k2

162

k－425

4k2＋1

25

k2)

162

k54k2＋1

n2

425

＝＋1)－(n＋＋＋

k2 ……………………………………8分

161624

(k2＋1)(k2－4)－k2(n＋k2)＋k2(4k2＋1)

255525

＝＋n2 24k＋1

1616

(－n－)k2－4

554k2＋1

＝＋

n2． ……………………………………12分

16161616(－n－)k2－4(－n－)k2－4

5555→→若NA?NB为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数， 224k＋14k＋11616

则(－n－)k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，

55??－16n－16＝4λ，

5所以?5所以n＝4，λ＝－4，

??－4＝λ，

→→此时NA?NB＝12． ……………………………………14分

2

()2

22524

当直线l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，

55425