差分方程模型(讲义).

线性近似，即

需求曲线f：

yn?y0???(xn?x0)， ??0 (11)

供应曲线g：

xn?1?x0??(yn?y0)， ??0 (12)

由式(11)(12)消去yn，得到一阶线性差分方程

xn?1????xn?(1???)x0，n?1,2,? (13)

因此x0是其平衡点，即P0是平衡点。对式(13)进行递推，得

xn?1?(???)nx1?[1?(???)n]x0，n?1,2,?

由此可得，平衡点稳定的条件是：???1；不稳定的条件是：???1。 下面用图形解释此模型。

若对某一个k有xk?x0，则由(11)式得，当n?k时xn?x0，从而yn?y0，即商品的数量和价格将永远保持在P0(x0,y0)点。但是实际生活中的种种干扰使得xn,yn不可能停止在P0(x0,y0)上。不妨设x1偏离x0(见图2，图3)，我们来分析随着n的增加，xn,yn的变化情况。

y f y2 y0 y3 y1 0 P3 g P4 f—需求曲线 g—供应曲线 P0 P2 x2 x0 x3 P1 x1 x 图2 P0点是稳定的

数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P下一时段的数量x2由曲线g1点决定，

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上的P2点决定，这样得到一序列的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)，

P4(x4,y4)，…,在图2上，这些点将按照箭头所示方向趋向P0(x0,y0)，表明

P0(x0,y0)是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定。 但是如果需求函数和供应函数由图3的曲线所示，则类似的分析发现，市场将按照P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P4(x4,y4)，…，的规律变化为远离3(x3,y3)，PP0(x0,y0)，即P0(x0,y0)是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。

y P3 P4 f—需求曲线 y0 g 0 P2 P0 P1 f x0 图3 P0点是不稳定的

x 图2和图3中折线P于是这种用需求曲线和供应曲线分1P2P3P4?形似蛛网，析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平，

g则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。

下面来解释此模型的实际意义。 ① 首先来考虑参数?,?的含义。

需求函数f的斜率?(取绝对值)：表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；

供应函数g的斜率?：表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应增加量。

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?的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么?会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则?会比较小。

?的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么?会比较大；反之，若他们目光长远，则?会比较小。

② 根据?,?的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。 当供应函数g的斜率?固定时，?越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。

当需求函数f的斜率?固定时，?越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。

反之，当?,?较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。

③ 经济不稳定的解决方案

当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是??0；不管曲线g如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过剩部分，于是??0，不管曲线f如何，也总是稳定的。 3.3 模型的改进和推广

如果生产者的管理水平更高一些，他们再决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平

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均值

yn?yn?1 2于是供应函数为

xn?1?g(yn?yn?1) 2在P0点附近取线性近似时，式(12)表示为 供应函数(g):

xn?1?x0??(yn?yn?1?y0)，??0 (14) 2又设需求函数仍由式(11)表示，则由(11),(14)得到

2xn?2???xn?1???xn?(1???)x0，n?1,2,? (15)

(15)式是二阶线性差分方程。P0点稳定的条件可由特征方程 2?2????????0 的根?1,2????(??)2?8??确定。 ?4 结论：若方程的特征根均在单位园内，即?1?1,?2?1，则P0为稳定点。 ① 当???8时，显然有

????(??)2?8?????2?????2，

44从而?2?2，故此时P0是不稳定的。

② 当???8时，特征方程有两个共轭复数根

?1,2?此时

???1?i8???(??)2 44?1,21?? ?[()?(8???(??)2)2]2?4422??1 20