差分方程模型(讲义).

1．上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或Logistic模型，它有着广泛的应用。例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。 2．一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。

4. 人口的控制与预测模型

一．问题的提出

常见的两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.

下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。 二．模型的建立与求解

设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量，k?0,1,2,?100，即忽略百岁以上的人口。如果知道了第t年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t?1年各年龄组的人口数。

首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的

13

含义和记号如下： k岁人口的年死亡率：

dk?一年内k岁的死亡人数

这年内k岁的人口数 k岁妇女的年生育率：

bk?一年内k岁妇女生育的婴儿数

这年内k岁妇女人数第t?1年k?1岁的人口数就是第t年k岁人口数扣除它在该年的死亡人数，即

xk?1(t?1)?(1?dk)xk(t)，

令pk?1?dk称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递推公式

xk?1(t?1)?pkxk(t),(k?0,1,?,99)

来表示。再考虑到零岁的人数

x0(t?1)??bkuk(t)xk(t)，

k?0100其中uk(t)xk(t)为第t年k岁的妇女人数，uk(t)为第t年k岁人口的女性比(占全部

k岁人口数)，bkuk(t)xk(t)就是第t年k岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模

型是：

100??x0(t?1)??bkuk(t)xk(t) ? (1) k?0?x(t?1)?px(t),k?0,1,?,99kk?k?1根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之间，即当k?15和k?49时，bk?0， 令

x(t)?(x0(t),x1(t),?,xk(t),?,x100(t))T

14

?u0(t)b0??p0?0L????????0?u1(t)b10p1??0u2(t)b2??u99(t)b9900??0??????????00??p99u100(t)b100??0??0? ??????0?则人口模型（1）的矩阵形式为

x(t?1)?Lx(t) (2)

其中L称为莱斯利（Lwslie）矩阵.当第t0年的人口状况已知时，从式(2)就可以推得第t年的人口为

x(t?1)?Lt?t0x(t0).

5. 市场经济中的蛛网模型

在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。

供大于求 价格下降 数量和价格在振荡 产量减少 产量增加 价格上涨 15

供不应求

(1) 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定? (2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?

下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。 3.1 模型的假设和符号说明

① 记第n时段商品数量为xn，价格为yn，n?1,2,?。

这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类可以是一个饲养周期。

② 在n时段商品的价格yn取决于数量xn。设yn?f(xn)。它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。

因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图1中用一条下降的曲线f表示，f称为需求曲线。

③ 在n?1时段商品的数量xn?1由上一时段的价格yn决定，用xn?1?g(yn)表示。它反映生产者的供应关系，称为供应函数。

因为价格越高，生产量越大。供应函数在图1中用一条上升的曲线g表示，

g称为供应曲线。

y f g y0 O P0 x0

x

图1 商品供求关系曲线

3.2 模型的建立与求解

设需求曲线f和供应曲线g相交于点P0(x0,y0)，在P0附近取函数f和g的

16