差分方程模型(讲义).

n?1?r??1 ?x?1??1?r?????1?r???A0?1?r??xn?1nAn?A0(1?r)nr令

A0=60000，A300?0，n =300，r=0.01

得

x?A0?1?r?rn?1?r?n?1?60000??1?0.01?0.01300?1?0.01?300?1?632元

因此，该居民每月应偿还632元。又632<700，所以该居民可以去买房。

2．借贷问题

中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：

(借款额为一万元) 单位：元

贷款期限(年) 15 20 年利率 (%) 10.206 10.206 还款总额 (元) 19569.60 23488.80 利息负担总和 (元) 9569.60 13488.80 月均还款额 (元) 108.72 97.87 试问他们是怎样算出来的？

借贷问题的数学模型

一. 符号说明

以贷款期限20年为例:

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借贷额----------------A0?10,000; 贷款期限-------------为N年;

月利率----------------r?10.206/12?0.008505; “月均还款额”-------表示每月还款额是相同的，记为x; 还款总额------------记为S.

二. 建立模型

一开始借款A0?10,000，一个月后欠银行本利为A1?A0(1?r)，但为了减少欠款，还了x元，因而A1?A0(1?r)?x，第k个月情况也是这样的，即

Ak?Ak?1(1?r)?x,k?1,2,?,N

注意到了第N个月已经不欠银行的钱了，即AN?0，因此，我们得到以下的数学模型:

?Ak?Ak?1(1?r)?x?k?1,2,?N? ??A0,x,NKnown??FindoutsuchthatAN?0三. 数学模型的求解

首先求出用已知量表出的表达式。由

A2?A1(1?r)?x?[A0(1?r)?x](1?r)?x?A0(1?r)2?x[1?(1?r)]

可以猜想，并用数学归纳法证明:

Ak?A0(1?r)k?x[1?(1?r)?(1?r)2???(1?r)k?1]

由等比数列前k?1项的求和公式知:

xAk?A0(1?r)k?[(1?r)k?1],k?1,2,?N

r再由AN?0 ，得到:

A0r(1?r)N x?[(1?r)N?1]把已知量带入，就得到表中的x。

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3．生物种群数量问题

一．问题的提出

种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为xm，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量x的比记为：

r(x)?r?sx,r、s?0， 其中r相当于x＝0时的增长率，称为固有增长率，记当

前 (即t＝0时)种群数量为x0，时刻t种群数量为x(t)。若利用统计数据可知xm，

r，x0，则

1）设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。 2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。

二. 问题分析与模型建立

1. 由于r(x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以t到

t??t时间内种群数量的增量为

x(t??t)?x(t)?r(x)x(t)?t (1)

又由于r(x)?r?sx,而当x?xm时增长率应为零，即r(xm)?0，所以s?则

r(x)?r?

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r，xmrx， xm

把它代入方程(1)得:

x(t??t)?x(t)?(r?r)x(t)?t (2) xm此方程两边同除?t，并令?t?0，加上初始条件x(0)?x0可得未来任意时刻t种群数量所满足的数学模型为：

?dx?x??1???r???x (3) dtx?m???x(0)?x0? 2. 由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令?t?1，

t视为整数及r(x)?r?rx代入方程(1)得： xmx(t?1)?x(t)?(r?r)x(t) (4) xm加上初始条件x(0)?x0得任意时刻t种群数量所满足的离散型数学模型为

r?x(t?1)?(r?1?)x(t)?xm ??x(0)?x0?通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻t种群的数量。

三．模型求解

1．利用Mathematica求解方程(1)，可得任意时刻t种群数量为

x(t)?xm?xm??rt?1???1?x?e?0?

Mathematica源程序为：

DSolve[x'(t)?r*(1?x[t]/xm)*x[t]??0,x[t],t]

2．根据方程(2)，只要给出初值x0就可以很容易进行递推而得到任意时刻t种群的数量。

四．结果分析

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