差分方程模型(讲义).

同样由给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。

另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。 3. 常系数线性非齐次差分方程

常系数线性非齐次差分方程的一般形式为

xn?a1xn?1?a2xn?2???akxn?k?f(n) (4)

其中k为差分方程的阶数，其中a1,a2,?,ak为差分方程的系数，且ak?0(k?n)，

f(n)为已知函数。

在差分方程(4)中，令f(n)?0，所得方程

xn?a1xn?1?a2xn?2???akxn?k?0 (5)

称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。 求解非齐次差分方程通解的一般方法：

* 首先求对应的齐次差分方程(5)的通解xn，然后求非齐次差分方程(4)的一个(0)特解xn，则

*(0) xn?xn?xn为非齐次差分方程(4)的通解。

* 关于求xn的方法同求差分方程(1)的方法相同。对于求非齐次方程(4)的特解(0)的方法，可以用观察法确定，也可以根据f(n)的特性用待定系数法确定，具xn体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。 4. 差分方程的平衡点及其稳定性

在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。

对于差分方程F(n,xn,xn?1,?,xn?k)?0，若有常数a是其解，即有

F(n,a,a,?,a)?0

则称a是差分方程F(n,xn,xn?1,?,xn?k)?0的平衡点，又对该差分方程的任意由

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初始条件确定的解xn?x(n)，均有

limxn?a

n??则称这个平衡点a是稳定的；否则是不稳定的。 下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。 4.1 一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

xn?1?axn?b， 其中a,b为常数，且a??1,0。它的通解为

xn?C(?a)n?ba?1 易知

ba?1是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当 a?1

时，

ba?1是方程(6)的稳定的平衡点。 4.2 二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式为

xn?2?axn?1?bxn?r， 其中a,b,r为常数，当r?0时，它有一特解

x*?0，

当r?0，且a?b?1?0时，它有一特解

x*?ra?b?1，

不管是哪种情形，x*是方程(8)的平衡点。设方程(8)的特征方程为?2?a??b?0

的两个根分别为???1，???2，则

① 当?1,?2是两个不同的实根时，方程(8)的通解为

xn?x*?Cnn1(?1)?C2(?2)；

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(6) (7) (8)

② 当?1??2??是两个相同实根时，方程(8)的通解为

xn?x*?(C1?C2n)?n

③ 当?1,2??(cos??isin?)是一对共轭复根时，方程(8)的通解为

xn?x*??n(C1cosn??C2sinn?)

易知，当且仅当特征方程的任一特征根?i?1时，平衡点x*是稳定的。 4.3 一阶非线性差分方程

一阶非线性差分方程的一般形式为

xn?1?f(xn) (9)

其平衡点x*由代数方程x?f(x)解出。

为了分析平衡点x*的稳定性，将方程(9)的右端f(xn)在x*点作泰勒展开，只取一次项，得到

xn?1?f'(x*)(xn?x*)?f(x*) (10)

(10)是(9)的近似线性方程，x*是(10)的平衡点， 根据一阶常系数线性差分方程(6)

xn?1?axn?b的稳定性判定的相关结论，得：

① 当f'(x*)?1时，方程(9)的平衡点是稳定的； ② 当f'(x*)?1时，方程(9)的平衡点是不稳定的。

三． 差分方程建模实例

1． 贷款买房问题

某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建

立数学模型解决如下问题：

1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？

2) 假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?

1.1 确定参变量：用n表示月份，An表示第n个月欠银行的钱，r表示月

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利率，x表示每月还钱数，A0表示贷款额。

1.2 模型的建立与求解 1) 模型的建立

时间 初始 一个月后 二个月后 三个月后

?

欠银行款

A0

A1?A0(1?r)?x A2?A1(1?r)?x A3?A2(1?r)?x

?

n个月后

An?An?1(1?r)?x

由上表可得相邻两个月的递推关系式

An?An?1(1?r)?x

1.3 模型的求解： (1) 差分方程求解方法

先求其特解。令An?An?1?y，则y?y(1?r)?x，得特解为y?再求对应齐次方程An?An?1(1?r)的通解。 对应的特征方程为

x。 r??(1?r)?0，

得??(1?r)。齐次方程的通解为：c(1?r)n 因此原方程的通解为：

An?c(1?r)n?x r又因为n?0时An?A0，得c?A0?故

x rn?1?r??1 An?A0?1?r??xnr(2) 递推法：

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