江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级第2试试题

江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级第2试试题

（2004年12月26日 8﹕30－11﹕00）

一、选择题（每小题7分，共42分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.

1、已知整数x,y满足x?2y?50，那么整数对(x,y)的个数是（ D ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

2、方程2x?x2?2的正根的个数是 x （ A ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

3、在直角坐标系中，已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值

（A）?m为 n（ C ）

2 3 （B）?2 （C）?3 2 （D）?3

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b，其中b角形的个数是（ D ）

（A）n （B）n?1 （C）n2?n?a。则对于给定的边长n，所有这样的三

?n

（D）

1n(n?1) 25、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（ C ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

6、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有 （ C ）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

二、填空题（每题7分，共56分） 7、已知S?x?2?1x?x?22，且?1?x?2，则S的最大值与最小值的差是 1 。 7 个。

8、已知两个整数a、b，满足0?b?a?10，且

9a是整数，那么数对(a,b)有 a?b9、方程x2?x?2?x?0?x?1?x?1，?，?，?. y2?9x2?y2?12xy?9的非负整数解是??y?3?y?3?y?0?y?610、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺

序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）。

Q 1 F 14 W 2 G 15 E 3 H 16 R 4 J 17 T 5 K 18 Y 6 L 19 U 7 Z 20 I 8 X 21 O 9 C 22 P 10 V 23 A 11 B 24 S 12 N 25 D 13 M 26 设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x?。例如，有一种译码方法按照以下变换实现：

x?x?，其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。

?1时，x??6，即明文Q译为密文Y； x?10时，x??7，即明文P译为密文U。

现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?：

则xx?x?，x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。

已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为 11、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，?AOCCHQ.

P在AB的延长线上，且

?60?，点

PB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，则PE＝3cm。

12、△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为

A

13、设m为整数，且关于

c?15(a2?b2). 5ACDO第11题EPFrrEOrBD第14题Cx的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根，则m的值为

?4,?16,4.

14、已知△ABC的内切圆半径为r，?A?60，BC

三、解答题（每题13分，共52分）

15、对于实数a，只有一个实数值x满足等式 试求所有这样的实数a的和.

??23则r的取值范围是0?r?1.

x?1x?12x?a?2???0 x?1x?1x2?1

解：题中等式可化为

2x2?2x?a?4? 0

①

当方程①有两个相等的实数根时， 由此得a1??4?4?2??a?4??0，

711，此时方程①有一个根x??，验证可知x??的确满足题中的等式 2227当方程①有两个不相等的实数根时，??4?4?2?(a?4)?0，由此得a??

2??若

x?1是方程①的根，则原方程有增根x?1，代入①解得a2??8，此时方程①的另一个根

x??2，它确也满足题中的等式；

若x??1是方程①的根，则原方程有增根x??1，代入①解得a3??4，此时方程①的另一个根

x?0，验证可知x?0确满足题中的等式；

731因此a1??，a2??8，a3??4即为所求，且a1?a2?a3??.

22

16、若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的

14.

问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 解：（1）设装卸工作需

x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了

x4小时，两人共干活

x1x(x?)小时，平均每人干活(x?)小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，

4241x1x平均每人干活的时间也是(x?)小时。 据题设，得(x?)?10，解得x?16（小时）.

2424（2）共有

y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干(y?1)t小时，

1)t?12按题意，得16?(y?1)t?16?，即(y?14?y?2?y?3?y?4. 解此不定方程得?，?，?，

t?12t?6t?4????y?5?y?7?y?13，?，?即参加的人数y?2或3或4或5或7或13. ??t?3?t?2?t?1

17、下列4个判断：

（1） 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； （2） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

（3） 三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； （4） 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。 上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。

解：判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确.

判断（1）的反例：如图（1），在△ABC、△AB?C中，AC＝AC，BC＝B?C，高AH＝AH，但两个三角形不全等.

判断（2）的反例：如图（2），在在△ABC、△ABC?中，AB＝AB，AC＝AC?，高AH＝AH，但两个三角形不全等.

判断（3）的反例：设△ABC的三边长分别为AB＝16，AC＝24，BC＝36；△A?B?C?的三边长分别

A?B??24，A?C??36，B?C??54。由于△ABC与△A?B?C?的对应边成比例，故△ABC∽△A?B?C?，从而它们有5个边角元素分别相等：?A??A?，?B??B?，?C??C?，AC＝A?B?，BC＝A?C?，但它们不全等.

判断（4）的反例：如图（3），在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作?BAF??BAC，延长BC、FA交于点C?，则高BF＝BE，AD＝AD，又AB＝AB，但△ABC与△ABC?不全等。 综上所

为

述，题中4个判断都不正确.

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1，c2，…，c12，且c1值。

解：9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论

（1）如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分，那么c1＝9；如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而c1?c2?…?c12，求c1的最大

?5?1?4?4?21； （2）如果裁判评出的9个1分集中在三位

9?1?9?3?9?4?72，从而

运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于

3c1?c1?c2?c3?72，故，c1?24； （3）如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动

员各人所得总分之和等于9?1?9?2?9?3?9?4?90，从而4c1?90，故c?23.综上可知，

c1?24.

c1?24这种情形是可以实现的，见下表：

评 运 动 员 A1 1 1 1 4 4 4 3 3 3 24 A2 4 4 4 3 3 3 1 1 1 24 A3 3 3 3 1 1 1 4 4 4 24 A4 2 2 2 5 5 5 2 5 2 30 A5 5 5 5 2 2 2 5 2 5 33 A6 6 6 6 7 7 7 9 9 9 66 A7 7 7 7 9 9 9 6 6 6 66 A8 9 9 9 6 6 6 7 7 7 66 A9 10 10 10 8 8 8 11 11 11 87 A10A11A12 8 8 8 11 11 11 10 10 10 87 11 11 11 10 10 10 8 8 8 87 12 12 12 12 12 12 12 12 12 108 裁 分 判 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 合计