2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学

3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示

3.2 空间向量基本定理

学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.

知识点一 空间向量基本定理

思考1 平面向量基本定理的内容是什么？

思考2 平面向量的基底唯一确定吗？ 梳理 (1)空间向量基本定理

条件 结论 (2)基底

条件：三个向量e1，e2，e3______.

结论：__________________叫作空间的一个基底. 基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量. 知识点二 空间向量的坐标表示 思考1 平面向量的坐标是如何表示的？

思考2 基底不同，向量的坐标相同吗？

三个______的向量e1，e2，e3和空间______向量a 存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得__________

梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示

单位正交基底 空间直角坐标系 有公共起点O的三个两两______的______向量，记作e1，e2，e3 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以__________________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中任意向量a，存在唯一一组三元空间向量的坐标表示 有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的____________，把i，j，k叫作____________.(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示

类型一 基底的概念

例1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？

反思与感悟 基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.

②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.

跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( ) A.2a C.2a＋3b

B.2b D.2a＋5c

(2)以下四个命题中正确的是________.

①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；

③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. 类型二 用基底表示向量

→→→

例2 如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.

→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.

反思与感悟 用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.

→

跟踪训练2 如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，→

OB＝b，OC＝c.试用向量a，b，c表示向量GH.

→→

类型三 空间向量的坐标表示

例3 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的→→→

中点，以{AB，AD，AA′}为基底，求下列向量的坐标.

→→→→→→(1)AE，AG，AF；(2)EF，EG，DG. 引申探究

→→→→→→

本例中，若以{DA，DC，DD′}为基底，试写出AE，AG，EF的坐标.

反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤

→→→

跟踪训练3 在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N→

为BC的中点，MN在基底{a，b，c}下的坐标为________.

1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )

①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；