《整式》例题讲解与同步练习学案1

整 式

本讲知识要点: (一)单项式:

1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。如 mn是数 、字母m、

n的积，它是单项式，但 不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。

，a，b都是单项式。在 a2b， ，2x2+3x+5中，只有 a2b是单项式。 2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。如 的系数是 ，5a3的系数是5。

3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如: x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和为5，即 x3y2的次数是5； ab的次数是2；4abc的次数是 3，2a的次数是1，4的次数是0。 下面我们通过填表来进一步练习: 单项式 系数 次数 x3y 4 - - 3 0.6x2y2z2 -15a2b2 0.7pq 0.6 -15 0.7 6 4 2 - p - 1 x2 2 (二)多项式:

1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常 数项。

如：多项式-2x+3中，-2x，3是它的项，3是常数项；多项式5x2-3x+4中，5x2，-3x，4是它的项，4是它 的常数项.

注意:多项式的项包括它前面的符号。

2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式.如3x-1是二项式，7x2-5x+3是三项式，a3+3a2b+

3ab2+b3是四项式。

3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 如:多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高，次数为2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3

是一次二项式；m2+mn+n2是二次三项式； x4y+ xy4是五次二项式。

4.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若

按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

如:多项式2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6是六次五项式，按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+ x2y4-xy3-6，在这里

只考虑x的指数，而不考虑其它字母；按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+ x2y4。 注意:(1)重新排列一个多项式时，各项都要带着符号移动位置；

(2)对含有两个以上字母的多项式，一般都按其中某一个字母的降幂排列。 (三)整式:

单项式和多项式统称为整式。即 如:-3，a2b， ，a2-b2都是整式。 二.例题:

例1.下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式?说出各单项式的系数、次数；各多项式是几次几项 式，并按某一个字母降幂排列:

-12，-2a，x2yz，m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，0.5，4-3a2b-ab2-b3。 解:单项式有:-12，-2a，x2yz，0.5；-12的系数就是-12，次数是0；-2a的系数是-2，次数是1；x2yz的

系数是1，次数是4；0.5的系数是0.5，次数为0。

多项式有m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，4-3a2b-ab2-b3；m2-n2是二次二项式，按m的降幂排列为m2

-n2；x2+2x+1是二次三项式，它本身就是按x的降幂排列；-3x2+2y2-xy是二次三项式，按y的降幂排列为2y2

-xy-3x2；4-3a2b-ab2-b3是三次四项式，按a的降幂排列为：-3a2b-ab2-b3+4。 例2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13， ， ， ， -x，5a，abc， ， ax2+bx+c，a3+b3。

解:单项式有:13，5a，abc； 多项式有: ， -x，ax2+bx+c，a3+b3；

整式有:13，5a，abc， ， -x，ax2+bx+c，a3+b3。 例3.当x=- ，y=- 时，求x2y+xy2-y3的值。 解:当x=- ，y=- 时，

x2y+xy2-y3=(- )2×(- )+(- )×(- )2-(- )3=- - + = 例4.m是大于-1 的负整数，n是绝对值为2的有理数， 求: m3-2n2m2+6n3m的值。

解:首先要确定m，n的取值，依题意得m=-1, |n|=2， ∴n=±2，要分两种情况讨论: ①当m=-1，n=2时，

m3-2n2m2+6n3m= ×(-1)3-2×22×(-1)2+6×23×(-1)=- -8-48=-56 ②当m=-1，n=-2时，

m3-2n2m2+6n3m= ×(-1)3-2×(-2)2×(-1)2+6×(-2)3×(-1)=- -8+48=39 例5.已知:3xmy2m-1z- x2y-4是六次三项式，求m的值。 解:∵3xmy2m-1z- x2y-4是六次三项式，而 - x2y的次数是3；-4的次数是0， ∴3xmy2m-1z的次数应是六， ∴m+2m-1+1=6

∴3m=6 ∴m=2

例6.已知| a-5|=0，且(a-5)|b+7|=a+5，求b的值。

分析:由已知| a-5|=0就可以求出a的值，将a的值代入第二个等式就可求出b的值。

解: ∵| a-5|=0， ∴ a-5=0， ∴ a=5， ∴a=15。 将a=15代入(a-5)|b+7|=a+5得， (15-5)|b+7|=15+5 ∴10|b+7|=20 ∴|b+7|=2

∴b+7=2或b+7=-2 ∴b=-5或b=-9。 三.练习: (一)判断正误:

1.单项式- 的系数是- ，次数是n+1。 ( )

2.多项式6x3-4x2y+3xy2-y3的项是6x3，4x2y，3xy2，y3。 ( ) 3.多项式ab3-a2b2-3a3b+2是按a的升幂排列的。 ( ) 4.m2n没有系数。 ( ) 5.-13是一次一项式。 ( ) (二)填空:

1.下列代数式中:x2-2x-1， ， ，π，m-n， ，- ，x， ， 。单项式有 ________________，多项式是_____________整式有____________。 2.填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c -