《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点

专业________班级_______姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 总分

得分 注 意 事 项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若f(x)是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积； (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积

(C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积

得 分 二. 填空题(3分×5=15分)

111、设An?[,2?],n?1,2,nn，则limAn?_________。

n??2、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P=________。

???3、设?Si?是一列可测集，则m??Si?______?mSi

?i?1?i?1?o4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________ 5、设F(x)为?a,b?上的有限函数，如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。

得 分 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于?0,1???0,1???0,1?，故不存在使?0,1?和?01 ，?之间1?1对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得 分 四.解答题(8分×2=16分)

?x,x为无理数1、设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，

?1,x为有理数若可积，求出积分值。

2、求极限 lim?n??nx3sinnxdx.

01?n2x21

得 分 五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数 c，

E?{x|f(x)?c} 是一开集.

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。