九年级上册数学知识点总结

未知数的等式，即方程。

（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.

（2） 增长率问题

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长

2

或降低后的等量关系为a（1?x）=b。 （3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点：

（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋

转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：

① 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

② 转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③ 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④ 接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称

知识点一 中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二 作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三 中心对称的性质 有以下几点：

（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对

称中心平分；

（2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

第二十四章 圆

24.1 圆 24.1.1 圆

知识点一 圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念

（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个

端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直径

知识点一 圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，C

M A B

AM=BM D 垂足为M AC=BC

AD=BD 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，

CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角

知识点 弦、弧、圆心角的关系

（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所

对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆

心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理

（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半。

（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角

所对弦是直径。

（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧

或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二 圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系

（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2） 用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。

知识点二 过已知点作圆

（1） 经过一个点的圆（如点A）

以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

·O1 A ·O2

·O3

（2） 经过两点的圆（如点A、B）

以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

A

B （3） 经过三点的圆

① 经过在同一条直线上的三个点不能作圆

② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。 A

O

B C