解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型(1)

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

总论：常用的八种方法

1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法

6、参数法（点参数、K参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型

（1）中点弦问题

（2）焦点三角形问题

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题

常用的八种方法

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

x2y2 （1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?k?0。(其中K是直线AB的斜率) a2b2x2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?k?0(其中K是直线AB的斜率) a2b2（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. (其中K是直线AB的斜率)

4、弦长公式法

弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y?kx?b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax?bx?c?0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则|AB|?1?k22|xA?xB|?方等运算过程。 5、数形结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

2△，若直接用结论，能减少配方、开1?k22|a|

考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x+y”,令

2

2

x2?y2?d，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“

表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率??

6、参数法

y?3y?3”，令=k，则kx?2x?2（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y1-1,y1） （2）斜率为参数

当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序

这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法

一、定义法【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，HAQPFB当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）

连PF，当A、P、F三点共线时，AP?PH?AP?PF最小，此时AF的方程为

y?142?0（注：另一交点为(,?2)，(x?1) 即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，

23?1它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

1,1） 4过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=

11，∴Q(,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y2??1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆例2、F是椭圆43上一动点。

（1）PA?PF的最小值为 （2）PA?2PF的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5

设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF?

PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?5

当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 （2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF?F0′yAFPHx1， 21PH,即2PF?PH 2∴PA?2PF?PA?PH