利用导数研究函数的单调性教案 人教课标版(实用教案)

《利用导数研究函数的单调性》教案

教学目标：

．了解可导函数的单调性与其导数的关系；

．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授

．问题：图（），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)??4.9t?6.5t?10的图像，图（）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函

数．相应地，v(t)?h(t)?0．

（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函

数．相应地，v(t)?h(t)?0．

．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

'''2

'如图，导数f(x0)表示函数f(x)在

点(x0,y0)处的切线的斜率．

'在x?x0处，f(x0)?0，切线是“左下右上”式的，

这时，函数f(x)在x0附近单调递增；

'在x?x1处，f(x0)?0，切线是“左上右下”式的，

这时，函数f(x)在x1附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果

'f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减．

说明：（）特别的，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内是常函数． ．求解函数y?f(x)单调区间的步骤： （）确定函数y?f(x)的定义域； （）求导数y?f(x)；

（）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间； （）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析

例．已知导函数f(x)的下列信息： 当1?x?4时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0 试画出函数y?f(x)图像的大致形状．

解：当1?x?4时，f(x)?0，可知y?f(x)在此区间内单调递增；

''''''''''当x?4，或x?1时，f(x)?0；可知y?f(x)在此区间内单调递减； 当x?4，或x?1时，f(x)?0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y?f(x)图像的大致形状如图所示． 例．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（）f(x)?x?3x； （）f(x)?x?2x?3 （）f(x)?sinx?xx?(0,?)； （）f(x)?2x?3x?24x?1 解：（）因为f(x)?x?3x，所以，

33232''f'(x)?3x2?3?3(x2?1)?0

因此，f(x)?x?3x在上单调递增，如图（）所示．

'（）因为f(x)?x?2x?3，所以， f(x)?2x?2?2?x?1?

23当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递增； 当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递减； 函数f(x)?x?2x?3的图像如图（）所示．

（）因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，f(x)?cosx?1?0

因此，函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减，如图（）所示． （）因为f(x)?2x?3x?24x?1，所以． 当f(x)?0，即时，函数f(x)?x?2x?3； 当f(x)?0，即时，函数f(x)?x?2x?3； 函数f(x)?2x?3x?24x?1的图像如图（）所示． 注：（）、（）生练 例3

如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

32'2'232'2'2'2分析：以容器（）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

思考：例表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些．

如图所示，函数y?f(x)在?0,b?或?a,0?内的图像“陡峭”， 在?b,???或???,a?内的图像“平缓”． 例4

求证：函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内是减函数．

32证明：因为y'?6x2?6x?12?6x2?x?2?6?x?1??x?2?

'当x???2,1?即?2?x?1时，y?0，所以函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内是

32??减函数．

说明：证明可导函数f?x?在?a,b?内的单调性步骤： （）求导函数f（）判断f''?x?；

?x?在?a,b?内的符号；

'（）做出结论：f例5

?x??0为增函数，f'?x??0为减函数．

2已知函数 f(x)?4x?ax?范围．

23x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值3'解：f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?'2恒成立，即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1

2所以实数a的取值范围为??1,1?．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关