2016-2017年福建南平市高一(上)数学期末试卷及答案

（2）g（x）=x?f（x）+λf（x）+1=x?（x+2）+λ（x+2）+1 =x2+（2+λ）x+2λ+1， 函数的对称轴为x=﹣

，

若函数g（x）在（0，2）上具有单调性，λ＜0， 则﹣

≤0或﹣

≥2，

即λ≥﹣2或λ≤﹣6， ∵λ＜0，

∴λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0，

则λ的取值范围是λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0．

20．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=

，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点

（1）求证：AB⊥平面AA1C1C

（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，求四面体ABC1M的体积．

【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

∵AA1⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AA1⊥AB， ∵AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C． 解：（2）MN∥平面ABC1． 取BB1中点D，

∵M，N分别为B1C1，AA1的中点， ∴MD∥BC1，

又四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB， ∵MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1， ∴MN∥平面ABC1，

∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离，

，BC=3，

过N作NH⊥AC1于H，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1， ∴NH=

=

，

=

=

=

．

=

，

∴M到平面ABC1的距离为∴四面体ABC1M的体积

21．（12.00分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时 （1）求k的值

（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．

【解答】解：（1）由题意可得，x=0时，y=192；x=33时，y=24． 代入函数y=ekx+b，得：ek×0+b=192①，ek×33+b=24② ②÷①，解得：k=﹣

；

（2）由（1）得：x=11时，e11k+b=x③， ∴③÷①得：e11k==

，解得：x=96，

故该食品在11℃的保鲜时间是96小时； x=22时，e22k+b=y④， ∴④÷①得：e22k==

，解得：y=48，

故该食品在22℃的保鲜时间是48小时．

22．（12.00分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，） （1）求直线12x﹣5y﹣1=0被圆C截得的弦长

（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），

Q（x2，y2）两点 （i）求证：

为定值

（ii）若|PN|2+|QN|2=24，求直线L的方程． 【解答】解：（1）由题意，C（a，0），z\\则kCM=

，

∴?（﹣）=﹣1，∴a=﹣1，

∴C（﹣1，0），|CM|=2，即r=2， ∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．

圆心到直线12x﹣5y﹣1=0的距离为1，∴所求弦长为2

=2

；

（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0， ∴x1+x2=﹣（i）

=

，x1x2=﹣

．

=为定值；

+

﹣（4+2k）（x1+x2）+10=

（ii）|PN|2+|QN|2==

∴k=1或﹣， 经检验k=1满足题意， ∴y=x．

直

线

L

+16=24，

的方程为