江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试数学试题

取BC中点M，连结OM．则OM?BC，?BOM?所以BC?2BM?2sin同理可得CD?2sin所以l?2?2sin?2．

CD?2．

M?2，AD?2sin??2?2?2cos?．

BOA?2?2sin2??????2cos??2?1?2sin2??4sin?2．………………………4分 22?2??1???1????即l??4?sin???5,???0,?．所以当sin?，即??时，有lmax?5．……6分

22?223??2?（2）S?BOC?sin?，S?AOD?sin???2???sin?cos?，S扇形COD??．

所以S?sin??sin?cos???． …………………………………………………………8分 所以S'?cos??cos2??sin2??12121212141211??4cos??3??2cos??1? ………………………10分 44????因为???0,?，随意解S'?0得??，列表得

3?2?? S' ????0,? ?3?＋ 递增 ? 30 极大值 ?????,? ?32?－ 递减 S 所以当???3时，有面积S取得最大值．

答：（1）当??（2）当???3时，观光道路的总长l最长，最长为5km；

时，鲜花种植面积S最大． …………………………………………14分

?3x2y218．⑴ 因为椭圆C:2?2?1(a?b?0)左，右顶点分别为A1?2,0,A2ab???2,0，

?2所以a=2． ………………………………………………………………………………1分

又因为直线3x?4y?5?0上恰存在一个点M，使得?F1MF2?90?，

即以原点O为圆心，半径为r?OF使得圆O与直线3x?4y?5?0相切即可． 1?c作圆O，

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又圆心O到直线3x?4y?5?0的距离d?3?0?4?0?53?422?1， …………………3分

所以 c?1，b2?a2?c2?1，………………………………………………………………5分

x2?y2?1； …………………………………………………6分 所以椭圆C的标准方程为22x02?y0?1,……………………………………7分 ⑵设P?x0,y0?，因为点P在椭圆上，所以有2因为圆T的圆心T?0,t?在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．

22所以圆T的方程为x??y?t??t?1, ?t?0?，…………………………………………8分

2由PQ?QT?0得PQ2?PT2?QT2?x0??y0?t??t?1，

222x022?y0?1，所以PQ2???y0?t??t2?1， …………………………………………10分 又2①当?t≤?1即t≥1时,当y0??1时,PQ取得最大值2t, 2??因为PQ的最大值为555，所以2t?,解得t?,又t≥1，故舍去. ……………12分 282 ②当?t??1即0?t?1时,当y0??t时,PQ取最大值t2?1, 所以t2?1?1152，解得t?，又0?t?1，所以t?. ……………………………14分

422 综上,当t?15时,PQ的最大值为.………………………………………………16分 2211f(x?2)?f(x?4)， 2419．（1）当x∈(0，2)时，f(x)?由条件，当x ? 4∈(?4，?2)，f(x?4)的最大值为 ? 4，

所以f(x)的最大值为 ? 1．……………………………………………………………2分 因为f?(x)?111?ax，令f?(x)?0，所以x??．……………………………3分 ?a?axx111因为a??，所以??(0,2)．当x∈(0，?)时，f?(x)?0，f(x)是增函数；

2aa1当x∈(?，2)时，f?(x)?0；f(x)是减函数．

a111则当x ??时，f(x)取得最大值为f(?)?ln(?)?1??1．所以a ? ? 1．……6分

aaa（2）设f(x)在x??1,2?的值域为A，g(x)在x??1,2?的值域为B，则依题意知A?B．

因为f(x)在x??1,2?上是减函数，所以A ? (ln2?2,?1)．

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又g?(x)?bx2?b?b(x2?1)，因为x??1,2?，所以x2?1??0,3?． 22① b ? 0时，g?(x)? 0，g(x)是增函数，B ? (?b,b)．

3323因为A?B，所以?b≤ln2?2．解得b≥3?ln2．

3222② b ? 0时，g?(x)? 0，g(x)是减函数，B ? (b,?b)．

3323因为A?B，所以b≤ln2?2．b≤?3?ln2．

3233由①，②知，b≤?3?ln2，或b≥3?ln2．……………………………………………16分

2220．（1）由an，?bn，an?1成等差数列可得，?2bn?an?an?1，①

由bn，?an，bn?1成等差数列可得，?2an?bn?bn?1， ② ①?②得，an?1?bn?1??3(an?bn)，

所以?an?bn?是以6为首项、?3为公比的等比数列．………………………………………6分 （2）由（1）知，an?bn?6?(?3)n?1，③ ①?②得，an?1?bn?1?an?bn??2，④

6?(?3)n?1?2?3?(?3)n?1?1， ……………………………………………8分 ③?④得，an?2an?mam?43?(?3)n?1?1?m3?(?3)m?1?3??代入，得，

an?1?mam?1?43?(?3)n?1?m3?(?3)m?3所以[3?(?3)n?1?1?m][3?(?3)m?3]?[3?(?3)n?1?m][3?(?3)m?1?3]，

整理得，(m?1)(?3)m?3?(?3)n?0，所以m?1?(?3)n?m?1，……………………………10分 由m是不超过100的正整数，可得2≤(?3)n?m?1≤101，所以n?m?1?2或4， 当n?m?1?2时，m?1?9，此时m?8，则n?9，符合题意； 当n?m?1?4时，m?1?81，此时m?80，则n?83，符合题意． 故使

an?ma?4?m成立的所有数对(m,n)为(8,9)，(80,83)．………………………16分

an?1?mam?1?4E 数学Ⅱ部分

C F

A

O

D 21．A． 连接OD，BC，设BC交OD于点M．

因为OA=OD，所以?OAD=?ODA； 又因为?OAD=?DAE，所以?ODA=?DAE

所以OD//AE；又 因为AC?BC，且DE?AC，所以BC//DE．

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B

所以四边形CMDE为平行四边形，

所以CE?MD，…………………………………………………………………………………5分 由

AC335?，设AC?3x，AB?5x，则OM?x，又OD?x， AB52253x?x?x，所以AE?AC?CE?4x， 22AFAE4x8=??． ………………………………………………10分

5FDODx52?1??可得， ?1??所以MD?因为OD//AE，所以

B． 由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝??ab??1??1?＝?1?21???1???1?，即a－b＝－1；……………………………………………………3分

???????3?由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为α2＝??，

?2??ab??3??3?＝，即3a+2b＝12，…………………………………………………6分 4??????21??2??2??a?2?23?解得?.即A＝??，…………………………………………………………………8分 b?321???可得?

1?2?? ……………………………………………………………10分 1??2??x2y2C．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得??1，

259因为a?5,b?3,c?4,则点F的坐标为(4,0).

因为直线l经过点(m,0)，所以m?4.………………………………………………4分 （2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：

?1??4-1

所以A逆矩阵A是??3??4(9cos2??25sin2?)t2?72tcos ??81?0.……………………………………………6分

设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2，则

FA?FB?|t1t2|=

8181?. 2229cos??25sin?9?16sin?当sin ??0时，FA?FB取最大值9；

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