离散傅里叶变换(DFT)试题

C．y1(t)和y2(t)都无失真； D. y1(t)无失真，y2(t)有失真。 解：D

23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs，信号最高截止频率为fc，则折叠频率为( )。 A.fs B.fc C.fc/2 D.fs/2 解：D

24.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率fh应满足关系( )。 A.Ts>2/fh C.Ts<1/fh 解：D

25.设某连续信号的最高频率为5kHz，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为________Hz。( )

A.5k B.10k C.2.5k D.1.25k 解：B

26.如果使用5kHz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的 最高频率为_____Hz。( ) A.2.5k B.10k 解：A

27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( )。 (Ⅰ)原信号为带限

(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 A.Ⅰ、Ⅱ B.Ⅱ、Ⅲ C.Ⅰ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 解：D

3.3 问答题

（1） 解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？

答：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。

泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。

（2）在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？

答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率

C.5k D.1.25k

B.Ts>1/fh D.Ts<1/(2fh)

一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。

（3）用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应

（4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 答：框图如下所示

前置 滤波器 A/D 变换器 数字信号处理器 D/A 变换器 模拟 滤波器

第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号

（5）“一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。 答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知

f(at)???1?F(j) aa信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。 （6） 试述用DFT计算离散线性卷积的方法。

答：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。

（7） 已知X(k)、Y(k)是两个N点实序列x(n)、y(n)的DFT值，今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。 解：依据题意

x(n)?X(k),y(n)?Y(k)

Z(k)?X(k)?jY(k)

取序列

对z(k)作N点IFFT可得序列又根据DFT性质

z(n)。

IDFT[X(k)?jY(k)]?IDFT[X(k)?jIDFT[Y(k)]?x(n)?jy(n)

由原题可知，

x(n),y(n)都是实序列。再根据z(n)?x(n)?jy(n)，可得

x(n)?Re[z(n)]

y(n)?Im[z(n)]（8）设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为多少？

解：由线性相位系统零点的特性可知，z?1的零点可单独出现，z?0.8的零点需成对出现，即

z=1.25也是其零点之一，z?1?j的零点需4个1组，其它三个z?1?j ,

z?

1?j1?j,z?,所以系统至少为7阶。 223.4 计算题

1.计算下列序列的N点DFT： （1）x（2）x?n????n?

?n????n?n0?,0?n0?N

x?n??an,0?n?N?1

(3)

（4）x2???n??cos?nm?,0?n?N,0?n?N,0?m?N ??N?（5）x?n??u?n??u?n?n0?,0?n0?N

（6）x?n??4?cos2?2???N?n?,n?0,1...,N?1 ?解： （1）X?k????(n)Wnk??(0)?1,0?k?N?1

Nn?0N?1n?0N?1（2）

n0knkX?k????((n?n0))NRN(n)WN?WN,0?k?N?1

（3）

X?k???aWnn?0N?1N?1nkN1?aNWNNk1?aN??,0?k?N?1 kk1?aWN1?aWN2?2?2?(4)

2?1N?1jNmn?jNmn?jNnknk X?k???cos(mn)WN??(e?e)eN2n?0n?0??1?1?e?j2??k?m?1?e?j2??k?m????? 2?2??j?k?m??j?k?m??2??1?eN?1?eN?

N?1N?1??1?ej??k?m??e?j??k?m??jN?k?m??ej??k?m??e?j??k?m??jN?k?m??????e??e ???j?k?m??j?k?m?j?k?m??j?k?m?2?N??eNeN?eN?e?

1?sin((k?m)?)?j??e2?sin??k?m??/N?N?1?k?m??Nsin??k?m????j?esin??k?m??/N?N?1?k?m??N?? ?

?N?,k?m或k??m??2 ?其它?0, （5）X?k????u?n??u?n?n0??Wn?0N-1nkN??Wn?0k?n0?1?/2n0-1nkNkn01?WN?k1?WN

?W=ek?n0?1?/2NW?k?n0?1?/2N?WN?WNW?k/2Nk/2

?j2??n0?1)/(2N?sin?n0?k/N?,k=0,1…,N-1

sin??k/N?2??jnN1? (6)x?n??4??e4?2?2?jnN?e2????2=

?jn?1?jn4??eN?2?eN?

4??4?4?91jN(2n)1jN(N?2)n91?2N1?(N?2)n=+e+e=+W+W

NN422444对照DFT逆变换公式

1x?n??NK?0?X?k?W2N?1?knN

?9k?0?2N，??1得到X(k)??N,k?2或k?N?2

?4其它?0,??2. 令x(n)和

（1）

X(ejw)表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(ejw)表示下面各序列的傅立叶变换。

g(n)?x(2n)

（2）g(n)?x?n2?n为偶数??

n为奇数?0解：（1）G(ejw)?n????g(n)e??jnw?n????x(2n)e??jnw?k???k为偶数?x(k)e?k?jw2