高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布

专项-离散型随机变量及其分布列

知识点

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质：① pi≥0，i＝1,2,3，…，n；① 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布

X P

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)超几何分布

nk

CkMCN－M

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，

CnN

－

?pi?1ni?1

0 1－p 1 p 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N①N*.

X P

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

0 n0C0MCN－M CnN－1 n1C1MCN－M CnN－… … m nmCmMCN－M nCN－ 1 / 6

题型一离散型随机变量的理解

【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A．某个路口一天中经过的车辆数X

B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C．某超市一天中来购物的顾客数X

??1，小胡在线

D．小马登录QQ找小胡聊天，设X＝?

?0，小胡不在线?

【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X；

(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．

【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A．ξ＝4 C．ξ＝6

B．ξ＝5 D．ξ≤5

【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A．5 C．10

【过关练习】

1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度．

2.某人射击的命中率为p(0

2 / 6

B．9 D．25

B．1,2,3，…，n，… D．0,1,2，…，n，…

3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．

4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．

5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．

题型二 离散型随机变量分布列的求法及性质

n

【例1】某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )

2

ξ P A.－0.2 C．0.1

0 0.1 1 m 2 n 3 0.1 B．0.2 D．－0.1

【例2】已知离散型随机变量X的分布列如下：

X P 1 2 32 2 323 2 334 2 345 2 356 2 367 2 378 2 389 2 3910 m 则P(X＝10)等于( ) 2A.9 31C.9 3

2B.10 31D.9 10

【例3】已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．

【过关练习】

1.随机变量ξ的分布列如下：

ξ P 则ξ为奇数的概率为________． 0 1 91 2 152 7 453 8 454 1 55 2 9 3 / 6

2.若离散型随机变量X的分布列为：

X P 则常数c的值为( ) 21A.或 331C. 3

2B. 3D．1

代替，其表如下： 4 5 0.10 5 0.1 6 0.20 0 9c2－c 1 3－8c 3.由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以

X P 1 0.20 2 0.10 3 0. 根据该表可知X取奇数值时的概率为________．

题型三 两种特殊分布的应用

【例1】某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( ) 4A. 216C. 21

【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．

【过关练习】

1.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：

ξ P 则x1，x2，x3的值分别为________．

4 / 6

9B. 215D. 21

0 x1 1 x2 2 x3