三项展开式问题方法总结及典型例题

三项展开式问题—破解“四法”

如何求解三项展开式中某些指定的项，同学们普遍感到比较陌生。下面介绍四种破解三项展开式问题的方法，供参考． 问题：求

1、两项看成一项，利用二项式定理展开

三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理来处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径． 解法1： =所以

2、两项看成一项，抓展开式的通项公式 解法2：

，r=0，1，2，3，4，5，则

的系数由

来确定

项的系数为

．

展开式中

的系数为.

由r + k = 5得

所以项的系数为．

点评：这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式

的通项公式为

·1·

3、因式分解，转化为两个二项展开式 解法3： =

相乘合并得

项的系数为92．

点评：若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式；若三项式恰好是二项式的平

方

，

则

也

可

直

接

转

化

为

二

项

式

问

题

求

解

，

如

．

4、看作多个因式的乘积，用组合的知识解答 解法4：将来源有：

①5个因式各出一个2x，这样的方式有

种，对应的项为

2

看作5个因式的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成的

；

②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个 - 3x，剩余1个因式出一个1，这样的方式有种，对应的项为

；

2

2个因式各出一个- 3x，③有1个因式出一个2x，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有种，对应的项为所以

项的系数为

；

点评：对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏．

·2·