黄金分割及比例线段

1∶2。若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ）

A．6 B．8 解法1：由DE∥AB∥FG知，

图2

C．10

D．12

图3

△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，

S△CDE2CD2?)， 所以＝(S△CAB32CACD1? CA4FD1?， 又由题设知，

FA2FD1?， 所以

AD31131FD?AD?×AC?AC，

3344故 FD＝DC

S△CDE121?()?， 于是

S△CFG24

所以

S△CFG?4S△CDE?8

以上是由DE∥AB∥FG，及相似三角形对应高的比等于相似比，把FG到DE、AB

的距离之比1：2，转到DF：AF＝1：2，从而知△CDE和△CFG边长的相似比为1：2。

解法2：因为DE∥AB∥FG， 所以 △CDE∽△CAB S△CDE21CD2???() S△CAB3216CACD1? CA4CD1? 于是

AD3作梯形ABGF的中位线KH，由题设知 所以 DF＝FK＝AK， CD＝DF S△CDE11?()2? S△CFG24于是 S△CFG?8

FD1? FA2以上是由FG到DE、AB的距离之比为1：2，作梯形ABGF的中位线KH，从而知D是AC的四等分点。得到△CDE和△CFG的相似比。

例3．如图4所示，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE、△EFC、△DBG的面积分别为1、2.8和1.2，求平行四边形DEFG的面积。

图4

解：过D作DH∥CE交BC于点H， 由DE∥HC，DH∥EC，

可知四边形DECH为平行四边形。 因为DH＝EC，

所以△DGH≌△EFC， 即 S△DGH＝S△EFC， 于是 S△BDH＝4

因为 DH∥AE，DE∥BH， 故△ADE∽△DBH

AD2S△ADE则( )?DBS△BDHAD1? BD2S△ADE1?()2 S△ABC3

于是 S△ABC?9S△ADE?9

从而 S平行四边形DEFG＝S△ABC－S△ADE－S△EFC－S△DBG ＝9－1－2.8－1.2＝4

这是由DE∥BC，及等高的两个三角形的等积变形，再转化到两个三角形的相似。