新湘教版九年级数学上册：解直角三角形的应用教案

教学目标

【知识与技能】

1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值． 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．

3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想． 【情感态度】

通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用． 【教学重点】

会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【教学难点】

会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 教学过程 一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系． 二、释疑解惑，加深理解 1．正弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sinα，即： 角α的对边sinα＝.

斜边

2．余弦的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作cosα.即 角α的邻边

cosα＝.

斜边

3．正切的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tanα，即： 角α的对边tanα＝

角α的邻边4．特殊角的三角函数值：

三角函数 α 30° sinα 1 2cosα 3 2tanα 3 345° 60° 2 23 22 21 21 3 5.三角函数的概念： 我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数． 6．解直角三角形的概念：

在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形． 7．仰角、俯角的概念：

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

8．坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．

【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象． 三、运用新知，深化理解

2

1．已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tanB＝，求sin∠DAC.

3

解：过D作DE∥AB交AC于E， 则∠ADE＝∠BAD＝90°， 2AD2

由tanB＝，得＝，

3AB3设AD＝2k，AB＝3k，

3

∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE＝k

25

∴在Rt△ADE中，AE＝k，

23kDE23

∴sin∠DAC＝＝＝.

AE55

k2

2．计算：tan30°＋cos30°－sin45°tan45° 解：原式＝(131＝＋－ 342

323222

)＋()－()×1 322

2

2

2

7＝ 12

3

3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正5确的个数为( )

①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm；④BD＝210 cm. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析：由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm. 3

在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝，

53

∴DE＝AD·sinA＝5×＝3(cm)．

5∴AE＝AD－DE＝4(cm)． ∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．

2

菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm)．

在Rt△DEB中，BD＝DE＋BE＝3＋1＝10(cm)． 综上所述①②③正确． 【答案】C

4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．

2

2

2

2

2

2

2

分析：由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C.

解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，

在Rt△APC中，cos∠APC＝

PC. PAPC， PB∴PC＝PA·cos∠APC＝403， 在Rt△PCB中，cos∠BPC＝∴PB＝

403

＝406

cos∠BPCcos45°

＝PC∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里．

【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．

四、复习训练，巩固提高

1．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为( )

A．2 B．23 C．33 D．3

分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，2×3

∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝＝3.

2

∵FQ是BP的垂直平分线，

∴BP＝2BQ＝23.

在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°， 1

∴PE＝BP＝3.

2

【答案】C

2．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．(参考数据：3≈1.73)

解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F， 设AB＝x，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，

CD＝100，∴DE＝20，CE＝503.

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝x. 则AF＝AB－BF＝AB－DE＝x－50， DF＝BE＝BC＋CE＝x＋503. 在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，

tan30°＝，∴

AFFDx－50

x＋503

＝3. 3

∴x＝50(3＋3)≈236.6.

答：山AB的高度约为236.6米．

3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字，3≈1.732)．