新湘教版九年级数学上册：解直角三角形的应用教案

4．4 解直角三角形的应用

第1课时 俯角和仰角问题

教学目标

【知识与技能】

比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题． 【过程与方法】

通过学习进一步掌握解直角三角形的方法． 【情感态度】

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【教学重点】

应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题． 【教学难点】

选用恰当的直角三角形，分析解题思路． 教学过程

一、情景导入，初步认知

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．

【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．

二、思考探究，获取新知

1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？

分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.

【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．(结果精确到1m)

解：在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝＝

AC1000

∴BC＝1000×tan25°≈466.3(m)，

∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3＋1.7＝468米．

【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．

三、运用新知，深化理解

1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．(精确到1米)

BCBC

分析：利用正弦可求． 解：在Rt△ABC中sinB＝ ∴AB＝

1200＝≈4221(米) sinB0.2843

ACABAC答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

分析：在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.

解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.

∵tanα＝，tanβ＝，

∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×

3

＝403，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝3

BDADCDAD120×3＝1203.

∴BD＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈227.1 答：这栋高楼约高277.1m. 3．如图，在离树BC 12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC.(计算结果可保留根号)

分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．

解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，

tan30°＝，

∴BE＝DE·tan30°＝43米．

3

∴BC＝BE＋CE＝(43＋)米．

2

4．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)

BEDE

分析：由于气球的高度为PA＋AB＋FD，而AB＝1米，FD＝0.5米，故可设PA＝h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．

解：设AP＝h米，∵∠PFB＝45°， ∴BF＝PB＝(h＋1)米，

∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝(h＋6)米， 在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°， ∴h＝(h＋6)tan30°，

∴气球的高度约为PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．

【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业

布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题． 教学反思

本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．

第2课时 坡度和方位角问题

教学目标

【知识与技能】

1．了解测量中坡度、坡角的概念；

2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．

【过程与方法】

通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题． 【情感态度】

进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【教学重点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题． 【教学难点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题． 教学过程

一、情景导入，初步认知

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

从图形可以看出，

B1C1BC＞，即tanA1＞tanA. A1C1AC【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣． 二、思考探究，获取新知

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．

ACBC

2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)