2015届高三数学第一轮大练习复习学案：第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算

→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA

2323

1→2→

＝AB－AD，故选D. 23→→→→→→→→(2)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)，

→→→∴3AD＝2AC＋AB，

→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

→→

(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，

→

则OC等于

→→

A．2OA－OB 2→1→

C.OA－OB 33

→→

B．－OA＋2OB

1→2→

D．－OA＋OB

33→→→

(2)设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则 →→→→A.PA＋PB＝0 B.PC＋PA＝0 →→→→→C.PB＋PC＝0 D.PA＋PB＋PC＝0

( )

( )

答案 (1)A (2)B

→→→→→→

解析 (1)由2AC＋CB＝0得2AO＋2OC＋CO＋OB＝0， →→→→→∴OC＝－2AO－OB＝2OA－OB.

→→→

(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC＋BA＝2BP?P是AC的中点，→→

故PA＋PC＝0.

题型三 共线向量定理及应用

例3 设两个非零向量a与b不共线，

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．

→→→

(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→

∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)

→

＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→

∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B， ∴A、B、D三点共线． (2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE

→→→

的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于 ( ) 1121A.a＋b B.a＋b 42331112C.a＋b D.a＋b 2433(2)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于

( )

A．a B．b C．c D．0

答案 (1)B (2)D

→→→

解析 (1)如图，AF＝AD＋DF，由题意知， DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB， →1→∴DF＝AB，

3

11121→11

∴AF＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.

2232233(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.① 又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.② 由①得：b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a， ???λ1＋1＝0?λ1＝－1?∴，即?， ?λ2＝－1?λ2＝－1??

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

典例：

→1→→1→

(12分)如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于

42

→→→

点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.

思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

→→

(2)既然OM能用a、b表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb. (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答

→

解 设OM＝ma＋nb， →→→

则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.

1→→→1→→

AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋b.[3分]

22

→→

又∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线．

→→

∴存在实数t，使得AM＝tAD，

1

－a＋b?.[5分] 即(m－1)a＋nb＝t?2??

1

∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.

2m－1＝－t??∴?，消去t得，m－1＝－2n， t

n＝??2即m＋2n＝1.① [7分]

11→→→

m－?a＋nb， 又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－a＝?4?4?

11→→→

CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.

44

→→

又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线．[10分]

→→

∴存在实数t1，使得CM＝t1CB，

11

m－?a＋nb＝t1?－a＋b?， ∴?4???4?

11??m－4＝－4t1

∴?，消去t得，4m＋n＝1.②

??n＝t1

1

13→13

由①②得m＝，n＝，∴OM＝a＋b.[12分]

7777

温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.

方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则AB∥CD；

→→

若AB∥BC，则A、B、C三点共线． 失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1．下列命题中正确的是

( )

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C

解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.

→→→

2．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是 A．A、B、C C．B、C、D

B．A、B、D D．A、C、D

( )

答案 B

→→→→→→

解析 BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB?BD∥AB?A、B、D三点共线．

→→→→→→

3．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m等于

( )