第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(word版)

可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=?Gmms (7) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

Gmms12?Gmms? （8） mvP??????2r2a?P?可得

vP?Gms?代入有关数据得

21? （9） rPa vP=4.39?10m?s (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为?，彗星在近日点的速度为v0，再根据角动量守恒定律，有

4?1rPvPsin????P??r0v0 （11）

根据（8）式，同理可得

v0?Gms?21? （12） r0a由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据 评分标准：

本题20分 解法一

（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．

解法二

（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．

二、参考解答：

1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：

y ??127 (13)

f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面对杆AB的

支持力，f2、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，

D N4 ??B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆

??

9

O

AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有

N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）

以及对A点的力矩

11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即

31mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 （3） 22式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有

CF?lsin?cot? （4） 取杆CD为研究对象，由平衡条件有

N4?N2cos??f2sin??0 （5）

N2sin??f2cos??mg?0 （6） 以及对C点的力矩

N4lcos??1mglsin??0 （7） 2解以上各式可得

N4?1mgtan? （8） 21sin?1tan?sin???3N3??tan??tan????mg （9）

2cos?2sin???2 f1???3tan?sin?1tan?sin?????mg （10） 2cos?2sin??? N1?2mg （11）

N2??sin????1?tan?cos??mg （12） 2?1?tan?sin??mg （13） 2? f2??cos??CD杆平衡的必要条件为

??f2??cN2 （14）

由（12）、（13）、（14）式得

10

2??Csin??cos?? （15） tan???Ccos??sin?AB杆平衡的必要条件为

f1??AN1 (16)

由（10）、（11）、（16）式得

tan?sin?2sin???4?A?3tan? （17）

sin?cos?因此，使系统平衡，?应满足的条件为（15）式和（17）式．

2．将题给的数据代入（15）式可得

??arctan0.385?21.1 (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得

???19.5? (19)

因此，?的取值范围为

19.5??评分标准：

本题20分 第1问15分

（1）、（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到（17）式各1分．

第2问5分

（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分．

三、参考解答：

解法一

1． 设在时刻t，小球和圆筒的运动状态如图1所位于P点，绳与圆筒的切点为T，P到T的距离即绳部分的长度为l，圆筒的角速度为?，小球的速度为v.速度可以分解成沿着绳子方向的速度v1和垂直于绳子速度v2两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定

图1 O T ?21. 1 (20)

vv1P v2 示，小球的拉直小球的方向的律有

11112222M?R?0??m?R?0??M?R???m?v12?v2? (1) 2222MR2?0?mR2?0?MR2??mRv1?mlv2 (2)

因为绳子不可伸长，v1与切点T的速度相等，即

11

v1?R? (3) 解(1)、(2)、(3)式得

?M?m?R2?ml2 ???0 (4) 22?M?m?R?ml2?M?m?R2l v2?? (5)

?M?m?R2?ml20由(4)式可得

l?RM?m?0?? (6)

m?0??这便是在卫星角速度减至?时绳的拉直部分的长度l．

2．由（6）式，当??0得

M?m （7） T ? ml??l ??2 这便是绳的总长度L. ??1T L?R 3．如图2所示，从时刻t到t??t，切点T跟随圆筒转过一角度??1???t，由于绳子的拉直部分的长度增加了

O l v2?t??l，切点相对圆筒又转过一角度??2?所以在?t时间内，切点转过的角度

?l，到达T?处，R图2 ?????1???2???t??l （8） R切点从T变到T?也使切线方向改变了一个同样的角度??，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度v2引起的，故有

???由(1)、(2)、(3)式可得

v2?l??0??? （10） 由(8)、（9）、（10）三式得

?l?R?0?t （11） （11）式表示l随t均匀增加，故l由0增加到L所需的时间为 ts?

v2?t （9） lL1??0R?0M?m （12） m 12