2013-2014(2)微积分A2期中试卷答案

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浙江农林大学天目学院 2013 - 2014 学年第 二 学期期中考试卷

课程名称： 微积分AⅡ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷

注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

题号 一 二 三 四 五 得分 得分 评阅人

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共18分） 得分

1. 设向量a?{1,?2,l},b?{2,?4,3}，当a//b时，则l等于 ( A ). A.

32 B. ?32 C. 103 D. ?103 2. 设向量a的方向余弦cos??23，cos??23，|a|?3，则向量a的坐标为( C ). A. (1,2,2) B. (?1,2,2) C. (?1,2,2) D. 以上都不对

3. 直线l1:x?1?y??(z?1)，l2:x??(y?1)?z?10相对关系式( B ). A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 异面. 4. 设f(0,0)?0，当(x,)y0(0,)?，f(x,y)为如下四个表达式之一，则f(x,y)在(0,0)

处连续的是( D ).

x2A. ?y2x?y2 B. x2y2 x4?y2 C. x2?xyx2yx2?y2 D. x2?y2

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z，若z=f(5. 设函数z=f(x,y)在(x0,y0)的全增量为Dx,y)在(x0,y0)处可微，则在

(x0,y0) 处有( D ).

z=dz B. DA. Dz=fx'(x0,y0)x+fy'(x0,y0)y z=dz+o(C. Dz=fx'(x0,y0)dx+fy'(x0,y0)dy D. Dx2+y2)

6. 若fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在，则f(x,y)在点(x0,y0)处 ( C ) A. 一定可微 B. 一定不可微 C. 一定有定义 D. 一定连续.

二、填空题（每小题3分，共30分）

得分 1. 已知向量a??2i?2j?3k，b?2i?j?4k，则a?b?{5,14,-6}. 2. 设向量a?b，且|a|?1，|b|?2，记c?a?b，则|c|?5. 3. 点M(?1,2,2)到平面?:x?3y?4z?2?0的距离是126.

4. 求直线

x?1yz?5p??与平面2x?y?z?5?0的夹角. 1?1235. 在xoy面上的椭圆4x2?y2?4绕x轴旋转而成的的曲面方程为

4x2?y2?z2?4.

2??z?4?x2?z?4?x6. 求曲面?2在坐标平面zox上的投影曲线方程为?. 2y?0x?y?2???7. 二元函数z?1的定义域为{(x,y)|x2+y2<6且x2+y2 5}. 22ln(6?x?y)x2x?y1)8. 极限lim(1?x??2xy?a?e-12.

?3(dx+dy).

9. 设z?x2y?xy2，则dz(1,1)10. 函数u=2xey在点P(1,0)沿从P到Q(2,?1)的方向导数0.

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三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共10分） dy1. =ex-y. dx得分 解：分离变量eydy=exdx ………2分 两边同时积分蝌eydy=exdx即ey=ex+C (其中C为任意常数) .…5分 2.

dy+2xy=4x. dx解：此方程为一阶线性非齐次方程，其中P(x)=2x,Q(x)=4x，则非齐次方程的通解为

y=e蝌-2P(x)dx(òQ(x)e2P(x)dxdx+C)=e蝌(ò4xe-2xdx222xdxdx+C)………..2分

=e-x(ò4xexdx+C)=e-x(2òexdx2+C) ………….4分

=e-x(2ex+C)=Ce-x+2 …………..5分 四、求直线方程或平面方程（每小题6分，共12分）

得分 2221. 求过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-2z=2平行的直线方程. 解：由题知，两平面的法向量分别为n1={1,0,2}，n2={0,1,-2}. 由于所求直线与已知两平面平行，则其向向量与两法向量垂直，故取

is=n1?n2jk102=-2i+2j+k={-2,2,1} ………3分 01-2xy-2z-4==…..6分 -221又因为直线过点(0,2,4)，则由直线的点向式方程得

ìx=1

?x+1y+2z-1?

==2. 求与直线íy=-1+t及都平行，且过原点的平面方程. 121?

??z=2+t

解：题中两直线的方向向量分别为s1={0,1,1},s2={1,2,1}，由于所求平面与两直线平行，则平面法向量与两直线方向向量垂直，故取平面法向量为

in=s1?s2jk011=-i+j-k={-1,1,-1} ……3分 121又由于平面过原点，从而平面方程为x-y+z=0. …….6分

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五、多元函数微分的计算与应用（每小题6分，共30分）

?2z?2z1. 已知z=xln(x+y)，求，. 2?x抖xy得分 解：

?zx …….2分 =ln(x+y)+?xxy?2z1xy-xx+2y ……….4分 =+=?x2xy(x+y)2(x+y)2?2z1xy ………..6分 =-=22抖xyx+y(x+y)(x+y)2. 已知z=f(xsiny,ysinx)，且f(u,v)可微，求解：

抖z,抖xz. y?z=f1ⅱsiny+f2ycosx ……….3分 ?x?z=f1ⅱxcosy+f2sinx ………..6分 ?y3. 函数z=z(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=1确定，求解：令F(x,y,z)=x2z+2y2z2+y-1，则

抖z,抖xz. yFx￠=2xz，Fy￠=4yz2+1，Fz￠=x2+4y2z ………3分 Fy￠Fx￠?z2xz?z14yz2=-=-2=-=-2从而， …….6分 22￠￠?xFzx4yz?yFzx4yz4. 求曲面ez-z+xy=3在点M(2,1,0)处的切平面与法线方程.

解：令F(x,y,z)=ez-z+xy-3，则曲面在点M(2,1,0)处的切平面的法向量为

n={Fxⅱ,Fy,Fz }(2,1,0)={y,x,ez-1}(2,1,0)={1,2,0} ……2分

从而在点M(2,1,0)处的切平面为

1?(x2)+2?(y1)+0?(z0)=0，即x+2y-4=0. …….4分

法线方程为

x-2y-1z==. ……..6分 120共5页 第 4 页

5.求函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20的极值. 解：

?z?z=2x-y+9，=-x+2y-6 ?x?yì??令í????z=0?x，得驻点(-4,1). ?z=0?y22抖zz 2z=2,=-1,=2 22抖xx抖yy则AC-B2=3>0，且A=2>0，则f(-4,1)=-1为极小值.

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