高考数学二轮复习第2部分专题1三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象与性质教案（理科）

第1讲 三角函数的图象与性质

[做小题——激活思维]

π??1．函数f(x)＝sin?2x＋?的最小正周期为( ) 3??A．4π C．π

B．2π π

D．

2

π?2π?C [函数f(x)＝sin?2x＋?的最小正周期为＝π.故选C.] 3?2?2．函数y＝cos 2x图象的一条对称轴方程是( ) π

A．x＝

12πC．x＝

3

πB．x＝

6πD．x＝

2

π

D [由题意易知其一条对称轴的方程为x＝，故选D.]

2

?π??π3π?3．函数g(x)＝3sin?x－?在?－，?上的最小值为________．

4??12??4

3π?π3π?所以x－π∈?－π，2π?.当x－π＝－π，

－ [因为x∈?－，?，即x＝－时，??4?3?212?31234?4

g(x)取得最小值－.]

4．函数y＝cos?

3

2

?π－2x?的单调递减区间为________．

?

?4?

?kπ＋π，kπ＋5π?(k∈Z) [由y＝cos?π－2x?＝cos?2x－π?，得2kπ≤2x－π

??4??88?4?4??????

≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋

π5π

≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为88

?kπ＋π，kπ＋5π?(k∈Z)．]

?88???

π

5．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部

2分图象如图所示，则该函数的解析式为________．

y＝2sin?2x－? [由题图易知A＝2，由T＝

3

??

π?

?

2×?

?2π－π?＝π，可知ω＝2π＝2π＝2.于是y＝2sin(2x＋φ)，

?6?Tπ?3

把?

?π，0?代入y＝2sin(2x＋φ)得， ??6?

π?π?0＝2sin?2×＋φ?，故＋φ＝kπ(k∈Z)，

63??ππ

又|φ|＜，故φ＝－，

23

π??综上可知，该函数的解析式为y＝2sin?2x－?.]

3??

π?π?6．将函数y＝sin?x＋?的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的

6?4?横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．

?x5π??π?函数图象上所有的点?x＋5π?y＝sin?＋? [将函数y＝sin?x＋?――――――――――――→y＝sin??π

?2

12?

?6?

向左平移个单位长度4

?12?

横坐标扩大到原来的2倍15π―――――――――――→y＝sinx＋.] 212纵坐标不变

[扣要点——查缺补漏]

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定

A由最值确定；ω由周期确定T＝

2π

；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列

ωπ3π

方程确定即ωxi＋φ＝0，，π，，2π，如T5.

22

2．三种图象变换：平移、伸缩、对称

注意：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需向左或向右平移??ω个单位，如T6.

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的性质

研究三角函数的性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．

2π

(1)T＝，如T1.

?φ???

ω(2)类比y＝sin x的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．

π①y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

2

π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

2

π

②y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

2π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．注

2意对称中心必须写成点坐标．如T2.

③y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，对称中心可由ωx＋φ＝求得．

④单调性、最值，如T3，T4.

kπ

2

(k∈Z)

三角函数的值域、最值问题(5年3考)

[高考解读] 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为fx＝Asinωx＋φ＋B的形式或化fx为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.

3π??1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin?2x＋?－3cos x的最小值为________．

2??3π??－4 [∵f(x)＝sin?2x＋?－3cos x

2??＝－cos 2x－3cos x＝－2cosx－3cos x＋1， 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t－3t＋1.

3

又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值

4－4.]

3??π??2

2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sinx＋3cos x－?x∈?0，??的最大值是________．

2??4??33?2?

1 [f(x)＝1－cosx＋3cos x－＝－?cos x－?＋1.

42??

2

2

2

?π?∵x∈?0，?，∴cos x∈[0,1]，

2??

∴当cos x＝

3

时，f(x)取得最大值，最大值为1.] 2

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．

－

33

[因为f(x)＝2sin x＋sin 2x， 2

1??2

所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cosx＋2cos x－2＝4?cos x－?(cos x＋1)，

2??1ππ

由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，

233

1ππ

由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，

233

k∈Z，

π

所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，

3

π?π?π?33???且f(x)min＝f?2kπ－?＝2sin?2kπ－?＋sin 2?2kπ－?＝－.] 3?3?3?2???[教师备选题]

1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

25?1sin x－2cos x?

－ [y＝sin x－2cos x＝5??，

55?5?设1

2

＝cos α，＝sin α， 55

则y＝5(sin xcos α－cos xsin α)＝5sin(x－α)． ∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝5. 又∵x＝θ时，f(x)取得最大值， ∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝5. 又sinθ＋cosθ＝1， ，??5∴?2

cos θ＝－，??5

sin θ＝

1

2

2

25

即cos θ＝－.] 5

2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φ·cos(x＋φ)的最大值为________．

1 [∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，