2015年北京市高考数学试卷文科【高考】

【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：由z=2x+3y，得y=平移直线y=

，

经过点A时，直线y=

，由图象可知当直线y=

的截距最大，此时z最大． 即A（2，1）．

此时z的最大值为z=2×2+3×1=7， 故答案为：7．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．

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【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次； （2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．

【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙； ②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学．

【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．

三、解答题（共80分）

15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

]上的最小值．

）﹣

，

sin2．

【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+由三角函数的周期性及其求法即可得解； （2）由x∈[0，

]，可求范围x+

∈[

，π]，即可求得f（x）的取值范围，

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即可得解．

【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣

）﹣

sin2

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

=2π；

，π]，

）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

）﹣．

∈[﹣

，2﹣

]，

∴sin（x+

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

16．（13分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式；

（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求

（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求

【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d． ∵a4﹣a3=2，所以d=2 ∵a1+a2=10，所以2a1+d=10 ∴a1=4，

∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （II）设等比数列{bn}的公比为q， ∵b2=a3=8，b3=a7=16，

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∴

∴q=2，b1=4 ∴∴n=63

∴b6与数列{an}中的第63项相等

【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．

17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

=128，而128=2n+2

甲 乙 丙 丁

√

100 √ × √

217 × √ × √ 200 √

√

√ ×

300 √ × √ × 85

√ × × ×

98 × √ × ×

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．

（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．

（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．

【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200

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