高考文科数学导数专题复习

考点一 利用导数研究函数的单调性

【例1】设f(x)＝e(ax＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性.

解 f′(x)＝e(ax＋x＋1)＋e(2ax＋1)＝e[ax＋(2a＋1)x＋2]＝e(ax＋1)(x＋2)

?1?11x＝ae?x＋?(x＋2)①当a＝时，f′(x)＝e(x＋2)2≥0恒成立，∴函数f(x)

a?22?

xx2

x2

xx2x在R上单调递增；

1?11x?

②当0＜a＜时，有＞2，令f′(x)＝ae?x＋?(x＋2)＞0，有x＞－2或x＜－

a?2a?1

，

a??1?1?1

令f′(x)＝aex?x＋?(x＋2)＜0，有－＜x＜－2，∴函数f(x)在?－∞，－?和

?

a?

a?

a?

?1?11

(－2，＋∞)上单调递增，在?－，－2?上单调递减；③当a＞时，有＜2，令

2a?a?

f′(x)＝aex?x＋?(x＋2)＞0时，有x＞－或x＜－2，令f′(x)＝aex?x＋?(xa?a?a??

1

＋2)＜0时，有－2＜x＜－，

?1?1?1?

a?1??1?－，＋∞－2，－????上单调递减. ∴函数f(x)在(－∞，－2)和上单调递增；在aa????

e

【训练1】(2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax－a－lnx，g(x)＝－x，其中

xe

2

1

a∈R，e＝…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.

12ax2－1

(1)解 由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)

xx?1?0，?时，在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈?

2a2a??

1

?1?

，＋∞?时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈?f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)2a??

证明 令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，11

从而g(x)＝－x－1>0.

xe 考点二 求函数的单调区间

4

【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极

3值.

(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.

4

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所

3

?4??4?16a8161－－????以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.

9332?3??3?

?13?32??132?2?

(2)由(1)得g(x)＝?x＋x?ex故g′(x)＝?x＋2x?ex＋?x＋x?ex＝

?2??2??2??1352?x1x?x＋x＋2x?e＝x(x＋1)(x＋4)e.令g′(x)<0，得x(x＋1)(x＋4)<0.解之得

22?2?

－1

xa3

【训练2】 已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点

4x2

1

(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区

2间.

1a1

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－2－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直

4xx135x5

于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－24444x3x2－4x－5

ln x－，(x>0).则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.但

24x2－1?(0，＋∞)，舍去.当x∈(0，5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，

f′(x)>0.∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).

考点三 已知函数的单调性求参数

12

【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋2x(a≠0).

2(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 121

解 (1)h(x)＝ln x－ax－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2.若函数h(x)在(0，

2x112

＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>2－有解.设

xxx?1?22

G(x)＝2－，所以只要a>G(x)min.(*)又G(x)＝?－1?－1，所以G(x)min＝－1.

1

xx?x?

所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).

1

(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒

x?1?2

成立，(**)则a≥2－恒成立，所以a≥G(x)max.又G(x)＝?－1?－1，x∈[1，

xx?x?

12

?1?17

4]因为x∈[1，4]，所以∈?，1?，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥

x?4?16

771716＋7x－32x（7x－4）（x－4）－.当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝，1616x1616x16x（7x－4）（x－4）∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝≤0，当且仅当x＝4时等号成

16x立.(***)

?7?

∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是?－，＋∞?.

?16?

2

【训练3】 已知函数f(x)＝x－ax－1.

(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1，1)，求a的值.

解 (1)因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即

3

a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝

3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号.∴f(x)＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是(－∞，0].(2)f′(x)＝3x2－a.当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

所以a≤0不合题意.当a>0时，令3x2－a<0，得－

?3a3a?

?， 递减区间为?－，33??

3a3a

依题意，

3a＝1，即a＝3. 3

第3讲 导数与函数的极值、最值

知 识 梳 理

1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧

f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点:若