2020年高考数学一轮教案：第六章 第3节

第3节 平面向量的数量积及其应用

考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

知 识 梳 理

1.平面向量数量积的有关概念

→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OAθ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

2(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y1.

a·b(3)夹角：cos θ＝|a||b|＝x1x2＋y1y2

. 2222

x1＋y1·x2＋y2

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

222

x21＋y1·x2＋y2.

[微点提醒]

1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) π??

(1)两个向量的夹角的范围是?0，2?.( )

??

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )

(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].

(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.

答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.

当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，

所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件. 答案 A

→→

3.(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为2的弦AB不经过圆心，则AO·AB的值为________.

→，→的夹角为θ，→·→＝|AO→||AB→|·→|cos θ·→|＝1|AB→解析 设向量AOAB则AOABcos θ＝|AO|AB

2→|＝1×(2)2＝1. |·|AB

2答案 1

4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4

B.3

C.2

D.0

解析 a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3. 答案 B

5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( ) A.13＋62 C.30

B.25 D.34

解析 依题意得a2＝2，a·b＝2×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝（3a＋b）2＝9a2＋6a·b＋b2＝18＋12＋4＝34. 答案 D

6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，

因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7. 答案 7

考点一 平面向量数量积的运算

【例1】 (1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( ) A.0

B.4

9

C.－2

17D.－2 →

(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→，CN→＝2NA→，则BC→·→的值为( ) ＝2MAOM

A.－15

B.－9

C.－6

D.0

1解析 (1)由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－2， 1??

－2，－即m＝?， 2???

17?1?所以m·n＝－2×4＋?－2?×1＝－2. ??

→＝AC→－AB→＝3AN→－3AM→＝3(ON→－OA→)－3(OM→－OA→)

(2)连接OA.在△ABC中，BC→－OM→)， ＝3(ON

→·→＝3(ON→－OM→)·→＝3(ON→·→－OM→2)＝3×(2×1×cos 120°∴BCOMOMOM－12)＝3×(－2)＝－6. 答案 (1)D (2)C

规律方法 1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了. 2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.

π

【训练1】 (1)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝2，D是AC的中点，E在→→

BC上，且AE⊥BD，则AE·BC等于( ) A.16

B.12

C.8

D.－4

(2)(2019·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.

解析 (1)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图→·→＝(2，3)·略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，t)，BDAE(－4，t)