2012高考数学二轮专题复习13：数学思想方法

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

?3??3???,1?内有零点.所以??x?在?0,???上有且只有一个零点，记此?0，则??x?在?为??1??0，??????3??3?零点为x1，则当x??0,x1?时，??x????x1??0;当x??x1,???时，??x????x1??0;

所以，当x??0,x1?时，h?x?单调递减，而h?0??0,则h?x?在?0,x1?内无零点；当x??x1,???时，h?x?h?x?单调递增，则h?x?在?x1,???内至多只有一个零点，从而h?x?在?0,???上至多有一个零点.综上所述，

有且只有两个零点.

考点四 转化与化归的思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

在数学操作中实施转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问

题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式?等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.

例4. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(

?1x－1)(

1y－1)(

1z－1)的最小值。

【解析】(

1x－1)(

1y－1)(

1z－1)＝

1xyz（1－x）(1－y)(1－z)

＝

1xyz(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝

1xyz(xy＋yz＋zx－xyz)

＝

1x＋

1y＋

1z－1≥3

13xyz－1＝

33xyz－1≥

3x?y?z3－1＝9

【名师点睛】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求

1x＋

1y＋

1z的

最小值，则不难由平均值不等式而进行解决.本题的关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化,此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变. 【备考提示】：熟练转化与化归的思想是解答好本题的关键.

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

练习4.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。 A.

152 B. 10 C.

252 D.

352

【答案】A 【解析】由S?ADE＝

【易错专区】 问题：分类讨论

例.已知集合A={x|x－3x＋2=0},B={x|x－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 【解析】 ∵ A∪B=A， ?B?A,

2

2

14S?ABC和三棱椎的等体积转化容易求.

∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=?，则令△<0得a∈?；

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈?；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．

【名师点睛】：本题讨论时,要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 【备考提示】：分类讨论是高考的一个热点,在二轮复习时,要有意识地去应用,注意问题点. 【考题回放】

A???x,y?|x、yx?y?1?221.(2011年高考广东卷文科2)已知集合实数，且

x?y?1?为实数，且，

B???x,y?|x、y为

，则A?B的元素个数为（ ） B．3

C．2

D．1

A．4

【答案】C

?x2?y2?1?x?1?x?0??或?【解析】方法一：由题得?，A?B?{(x,y)|(1,0),(0,1)}，所以选C. ?y?0?y?1?x?y?1方法二：直接作出单位圆x2?y2?1和直线x?y?1，观察得两曲线有两个交点，故选C.

2.（2011年高考湖南卷文科1)设全集U?M?N?{1,2,3,4,5},M?CUN?{2,4},则N?（ ） A．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 【答案】B

【解析】画出韦恩图，可知N?{1,3,5}.

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

3.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B

【解析】：选画册2本，集邮册2本，共有赠送方法c4?6，选画册1本，集邮册3本，共有赠送方法c4?4，故共有赠送方法4+6=10种，故选B.

a?b?1,?a,4. (2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“?”：a?b?? 设函数

.?b,a?b?1f(x)??x?2???x?x2221?,x?R.若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范

围是（ ）

A．???,?2????1,?1?C．???,4??3?? B．???,?2??2?3???1,???

4????1??,????? D.

4???3??1???1,??,??????4??4??【答案】B

【解析】由题意知,若x?2?(x?x)?1,即?1?x?x??1或x?322232时, f(x)?x?2;当x?2?(x?x)?1,即

2222时, f(x)?x?x,要使函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程

f(x)?c?0有两个不相等的实数根即可,即函数y?f(x)的图像与直线y?c有两个不同的交点即可,画

出函数y?f(x)的图像与直线y?c,不难得出答案B. 5.(2011年高考江苏卷14)设集合A?{(x,y)|m2?(x?2)?y22?m,x,y?R},

2B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 若A?B??, 则实数m的取值范围是______________

【答案】

12?m?2?1

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

6. (2011年高

3?(?1)2n考天津卷理科20)已知数列{an}与{bn}满足：bnan?an?1?bn?1an?2?0,bn?a1?2,a2?4．

， n?N*，且

（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；

*4n（Ⅲ）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：?k?1*Skak?76(n?N)．

*【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:由bn?3?(?1)2n?1,n是奇数,n?N*,可得bn??, 又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

?2,n是偶数当n=1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,得a3??3; 当n=2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5. 当n=3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4. （Ⅱ）证明:对任意n?N, a2n?1?a2n?2a2n?1?0,① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0,②

8

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