高中数学 第三章 基本初等函数()3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算学案 新人教B版必修1

3.2.1 对数及其运算

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课程目标 1．理解对数的概念及其运算性质，掌握积、商、幂的对数的运算法则． 2．知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史及对简化运 算的作用. 1．对数的概念

(1)一般地，对于指数式a＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．

(2)以10为底的对数称为常用对数，即log10N，记作lg_N；

(3)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，即logeN，记作ln_N. 思考1 为什么规定在对数logaN中，a>0，且a≠1呢？

提示：(1)当a<0时，N取某些值时，logaN无意义，如根据指数的运算性质可知，不存

b学习脉络 ?1?在实数x使???＝2成立，所以log?1?2无意义，所以a不能小于0.

????2??2?(2)当a＝0，N≠0时，不存在实数x使a＝N，无法定义logaN.当N＝0时，任意非零正实数x，有a＝N成立，logaN不确定．

(3)当a＝1时，N≠1，不存在实数x，使a＝N，logaN无意义．N＝1，a＝N恒成立，logaN不能确定．

2．对数的性质

性质1 性质2 性质3 负数和零没有对数，即N>0 1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1) 底的对数是1，即logaa＝1(a>0，且a≠1) xxxxx思考2 为什么零和负数没有对数？ 提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)?a＝N(a>0，且a≠1)，而a>0，且a≠1时，axx

恒大于0，即N>0.故0和负数没有对数．

3．积、商、幂的对数的运算法则

a>0，a≠1，M>0，N>0 运算 数学表达式 loga(MN)＝logaM＋logaN 积的 对数 loga(N1·N2·…·Nk)＝ logaN1＋logaN2＋…＋logaNk (Ni>0，i＝1,2，…，k) 商的 对数 幂的 对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 自然语言 Mloga＝logaM－logaN NlogαM＝αlogaM(α∈R) α两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数 特别提醒(1)应用公式时需要注意法则的适用范围，并且公式可以正用、逆用和变形用． (2)当心记忆错误：如loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN. 4．对数的换底公式 一般地，我们有logbN＝的换底公式．

通过换底公式可推导出两个重要的结论： (1)logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)； (2)logamb＝

nlogaN (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)，这个公式称为对数

logabnlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)． mm思考3 如何用换底公式证明loganb＝

mlogab(a>0，b>0，a≠1，n≠0)? nlgbmmlgbm提示：左边＝loganb＝＝＝logab＝右边．

lgannlganm