行列式的计算方法（课堂讲解版）[1]

计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

0?010?200??? 0?例 计算行列式 Dn?n?1?0000?00nan?1a?n!. n解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 a1n?1a2n??21n(n?1)(n?2)该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2?1n）等于，

2故Dn?(?1)(n?1)(n?2)2n!.

?aij的元素满足aij??aji,i,j?1,2,?,n, 则称Dn为反对称

2．利用行列式的性质计算

例： 一个n阶行列式Dn行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由aij??aji知aii??aii，即aii?0,i?1,2,?,n

0?a12a120?a23??a2na13a230??a1n?a2n?a3n，由行列式的性质A?A?，??0故行列式Dn可表示为Dn??a13??a1n?a3n?0a12Dn?a13?a1n?a120a23?a2n?a13??a1n?a23??a2n0?a3n0?a12a120?a23??a2na13a230??a1n?a2n?a3n??0??a3n?(?1)n?a13????0?a1n?(?1)nDn

?a3n? 当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.

1

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

1?3例1 计算行列式D?234?2??3?1??3??2?1?1?4??3?1?0?5??4?1??1302?74?39?2?14?101?51． 62?57?410解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

?12?310?10?2200 ?000D 000121?130004?5220?100?13?2?340?2???3?1?102 ?00000?220?112?314?10?5220?100?23?2?340?4???2?1-12020 ?00000012-314-1-2 2-2-12-100?2 ?4???3??5??2?3?11?120001?1?2??1?2??1???1???6??12 .

?10?5??2?4? ?0?200?102?6?100?6

1?a1a1例2 计算n阶行列式D?a1?a21?a2a2?a2a3a3?a3???ananan?．

1?a3?a1?1?an解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，?，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

2

1??a1?a2???an? ?1???i? a2a3?ananan?n1a2a3?ananan?1??a1?a2???an?1?a2a3?D 1??a1?a2???an?a21?a3?i?2,?,n????1??a1?a2???an?10a21a2a3a3?an0?011?a2a3?????1??ai?1a21?a3?i?1??????1a2a3?1?an?1?annnn ?i???1? ???? ?1??ai?001?0??1??ai??1?1??ai .i?2,?,n?i?1i?1i?1????????000?1

ab例3 计算n阶行列式D?bbabbba???bbb

?????bbb?a 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，?，n列都加到第1列上，行列式不变，得

a?(n?1)ba?(n?1)bD?a?(n?1)bbabbba???b1bb?b1ab?bbb?[a?(n?1)b]1ba?b

??????????1bb?aa?(n?1)bbb?a1bb?b00a?b0?0a?b??0?00?[a?(n?1)b]0?0?[a?(n?1)b](a?b)n?1

???a?b

例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

123?n?1234?Dn?345?n1n12

?????n12?n?2n?1[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到

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从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：

12Dn?3?111?1?1??1???n11?1000?0??n???11?n1?100?000?n0?00?(i?2,?,n)ri?r1112?100?1?0??10?00?001?n0?0?n0?001?1?n0??nn1?n1?11n2?n?2n?1n?1?n0?01n(n?1)??n20?n000??n?0??(i?2,?,n)r1?1nri??n??n(n?1)(n?2)1n(n?1)???(?n)n?1?(?1)2n2n(n?1)(n?1)n?1??n???1?22

4．降阶法（按行（列）展开法）

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

123?181920212?171819例1、计算20阶行列式D20?321?161718

??????201918?321[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

解：

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