2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题(解析版)

所以g?x?max?g?x0??lnx0?e0?2??x0?x?11??2???x0???2. x0x0??因为x0??0,1?，所以x0?x1?2，所以g?x???2?2?0.

maxx0即g?x??lnx?e?2?g?x?max?0， 所以当a??2时，f?x??e?2x?x1成立. x【点睛】

考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题. 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：??x?1?cos?（?为参数），

?y?sin?以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：

??23sin?.

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若直线l:y?kx?k?0?与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求OA?OB取得最大值时直线l的直角坐标方程. 【答案】（1）曲线C1:??2cos?，曲线C2:x2?y?3【解析】（1）用???2?3.（2）y?3x.

?x?1?cos??x??cos?和?消去参数?即得C1的极坐标方程；将

y??sin?y?sin?????23sin?两边同时乘以?，然后由?2?x2?y2,y??sin?解得直角坐标方程.

（2）过极点的直线的参数方程为???,?0???????,??R?，代入到C1:??2cos?和2?C2：??23sin?中，表示出OA?OB即可求解.

【详解】 解：由???cos??1?cos??x?1?cos??x??cos? 和?，得??y??sin???sin??sin??y?sin?22??cos??1????sin??故C1：??2cos?

?1，化简得??2cos?

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将??23sin?两边同时乘以?，得?2?23?sin? 因为??x?y,y??sin?，所以x2?y2?23y?0 得C2的直角坐标方程C2:x2?y?3222??2?3.

（2）设直线l的极坐标方程???,?0???????,??R? 2?由?????，得|OA|?2cos?，

??2cos???????由?，得|OB|?23sin?

??23cos???

故OA?OB?2cos?+23sin??4sin???当??????? 6??3时，OA?OB取得最大值

此时直线的极坐标方程为：??其直角坐标方程为：y?3x. 【点睛】

?3???R?，

考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中?的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.

23．已知函数f?x??x?1，不等式f?x??f?x?1??5的解集为xm?x?n. （1）求实数m，n的值；

（2）若x?0，y?0，nx?y?m?0，求证：x?y?9xy. 【答案】（1）m??1，n?4.（2）见解析 【解析】（1）分三种情况讨论即可

（2）将m，n的值代入，然后利用均值定理即可. 【详解】

解：（1）不等式f?x??f?x?1??5可化为x?1?x?2?5.

??即有??x?1?x?2. 或1?x?2或?3?2x?52x?3?5??解得，?1?x?1或1?x?2或2?x?4.

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所以不等式的解集为x?1?x?4，故m??1，n?4. （2）由（1）知，nx?y?m?0，即4x?y?1，

??由x?0，y?0得，

11?11?4xy???????4x?y??5???5?4?9， xy?xy?yx4xy1111?.y?x?当且仅当，即，时等号成立故??9，即x?y?9xy. yxxy36【点睛】

考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.

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