2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题(解析版)

解得B?6,?2?

z?x?2y的最大值为10

故答案为：10 【点睛】

考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.

14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 【答案】1344

【解析】分四种情况讨论即可 【详解】

解：数学排在第一节时有：C4?A4?C4?384 数学排在第二节时有：C3?A4?C4?288 数学排在第三节时有：C3?A4?C4?288 数学排在第四节时有：C4?A4?C4?384 所以共有1344种 故答案为：1344 【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

15．在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cosB?3sinB?2?0；且b?1，则VABC周长的范围为__________. 【答案】?2,3

【解析】先求B角，再用余弦定理找到边a、c的关系，再用基本不等式求a?c的范围即可. 【详解】

解：cosB?3sinB?2?0

141141141141????????2sin?B???2,sin?B???1,B?

6?6?3??第 9 页 共 19 页

b2?a2?c2?2accos?3

12?a2?c2?2accos?3

2a?c??a?c??1?3ac?3????

?2?21?a?c?2

所以三角形周长a?c?b?(2,3] 故答案为：?2,3? 【点睛】

考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.

三、双空题

16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________cm（排球的直径约为21cm）

【答案】20 211?6

【解析】（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个 （2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm的正四面体，易求该四面体的高，然后加上21即可. 【详解】

解：（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个

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??（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm的正四面体O1?O2O3O4，如图：

取O3O4的中点E，VO2O3O4的重心F，连接O1F,则O1F?平面O2O3O4

O2E?6332633，O2F???213 232O1F?632?213??2?216 所以最上面球的球顶距离地面的高度约为21故答案为：20；21【点睛】

?6+1cm.

??6+1

?考查把实际问题转化为数学问题的能力、空间想象能力以及运算求解能力；较难题.

四、解答题

17．数列?an?满足a1?1，an是?1与an?1的等差中项.

（1）证明：数列?an?1?为等比数列，并求数列?an?的通项公式； （2）求数列?an?2n?的前n项和Sn.

nn?12【答案】（1）见解析，an?2?1（2）Sn?2?n?2

【解析】（1）根据等差中项的定义得an?1?1?2an，然后构造新等比数列?an?1?，写出?an?1?的通项即可求

（2）根据（1）的结果，分组求和即可 【详解】

解：（1）由已知可得an?1?1?2an，即an?1?2an?1，可化为an?1?1?2?an?1?，故数列?an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列.

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即有an?1??a1?1??2n?1?2n，所以an?2n?1.

n（2）由（1）知，数列?an?2n?的通项为：an?2n?2?2n?1，

?Sn??21?22?23?L?2n???1?3?5?L?2n?1?

?2?1?2n?1?2?n2?2n?1?n2?2

n?12故Sn?2?n?2.

【点睛】

考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.

18．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点.

（1）面出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；

（2）求BD1与该平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）

1. 3【解析】（1）A1C与平面BDC1垂直，过点E作与平面BDC1平行的平面即可 （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值 【详解】

解：（1）截面如下图所示：其中F，G，H，I，J分别为边C1D1，DD1，AD，AB，

BB1的中点，则A1C垂直于平面EFGHIJ.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

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