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两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-
3 2
B.3 2
1C.-
2
1 D. 2
解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°1
sin 10°=sin 30°=. 2答案 D
2.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( ) A.-1
B.0
C.1
D.2
解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28° =1+1=2. 答案 D
1
3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角,且tan α=-,则sin 2α=
3( ) 310A.-
10
310 B. 10
3C.-
5
3 D. 5
1
解析 因为α是第二象限角,且tan α=-,
3所以sin α=
10310,cos α=-, 1010
10?310?3
?=-,故选C. ×?-
10?510?
所以sin 2α=2sin αcos α=2×答案 C
132tan 14°
4.(2017·河南六市联考)设a=cos 2°-sin 2°,b=,c=
221-tan214°
1-cos 50°
,则有( )
2
A.a<c<b C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
解析 由题意可知,a=sin 28°,b=tan 28°,c=sin 25°, ∴c<a<b. 答案 D
π?3?
5.(2016·肇庆三模)已知sin α=且α为第二象限角,则tan?2α+?=
4?5?( ) A.-
19
5
B.-
5 19
C.-
31 17
D.-
17 31
424
解析 由题意得cos α=-,则sin 2α=-,
525cos 2α=2cos2α-1=
7. 25
tan 2α+tan
π24
-+1
47π?24?
∴tan 2α=-,∴tan?2α+?===-
4?7π?24??
1-tan 2αtan1-?-?×1
4?7?17
. 31答案 D 二、填空题
π?1π???
6.(2016·石家庄模拟)若cos?α-?=,则sin?2α-?的值是________.
3?36???π?π?π????
解析 sin?2α-?=sin?2?α-?+?=
3?2?6????π?π?17??
cos 2?α-?=2cos2?α-?-1=2×-1=-. 3?3?99??7
答案 - 9
π??π3π???π?
7.(2017·南昌一中月考)已知α∈?,?,β∈?0,?,且cos?-α?
4?4??4??4?312?5?
=,sin?π+β?=-,则cos(α+β)=________. 513?4?
解析 ∵α∈??π?4,3π??π?3
4??,cos??4-α??=5,
∴sin??
π?4-α?
?4?
=-5, ∵sin??5?12?4π+β??=-13,∴sin??π?12
?4+β??=13,
又∵β∈???0,π?4??π?5
?,∴cos??4+β??=13
,
∴cos(α+β)=cos?????π?4+β???π??35412
33?-??4-α????=5×13-5×13=-65.
答案 -
33
65
8.已知θ∈???0,π?2??,且sin?
??θ-π?4??=210,则tan 2θ=________.
解析 sin?
??
θ-π?4??=210,得sin θ-cos θ=15,①
θ∈?
?
?0,π?2??,①平方得2sin θcos θ=2425,可求得sin θ+cos θ=75,∴sin θ=45,cos θ=35,∴tan θ=42tan θ24
3,tan 2θ=1-tan2 θ=-7.
答案 -24
7 三、解答题
9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若a⊥b,求
sin θ-cos θsin θ+cos θ的值;
(2)若|a-b|=2,θ∈???0,π?2??,求sin?
?π??θ+4??的值.
解 (1)由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0, 所以sin θ=2cos θ, 所以
sin θ-cos θsin θ+cos θ=2cos θ-cos θ2cos θ+cos θ=1
3
. (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1)可得,
|a-b|=(cos θ-2)2+(sin θ+1)2= 6-4cos θ+2sin θ=2, 即1-2cos θ+sin θ=0.
π??
又cos2θ+sin2θ=1,且θ∈?0,?,
2??34
所以sin θ=,cos θ=.
55
π?22?34?72?θ+?=(sin θ+cos θ)=?+?=所以sin?. 42?55?10??210.设cos α=-
513ππ
,tan β=,π<α<,0<β<,求α-β的值. 5322
53π25
,π<α<,得sin α=-,tan α=2,525
解 法一 由cos α=-1
又tan β=,
3
于是tan(α-β)=
tan α-tan β=
1+tan αtan β2-
13
1
1+2×
3
=1.
又由π<α<0<β<
3π, 2
πππ3π可得-<-β<0,<α-β<, 2222
5π
. 4
53π25,π<α<得sin α=-. 525
因此,α-β=
法二 由cos α=-
1π13
由tan β=,0<β<得sin β=,cos β=.
321010所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= ?25??3??25??1?
?-???-?-???=-.
25??10??5??10??
又由π<α<
3ππππ3π
,0<β<可得-<-β<0,<α-β<,因此,α-β22222
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