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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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  • 2025/6/16 22:45:43

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-

3 2

B.3 2

1C.-

2

1 D. 2

解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°1

sin 10°=sin 30°=. 2答案 D

2.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( ) A.-1

B.0

C.1

D.2

解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28° =1+1=2. 答案 D

1

3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角,且tan α=-,则sin 2α=

3( ) 310A.-

10

310 B. 10

3C.-

5

3 D. 5

1

解析 因为α是第二象限角,且tan α=-,

3所以sin α=

10310,cos α=-, 1010

10?310?3

?=-,故选C. ×?-

10?510?

所以sin 2α=2sin αcos α=2×答案 C

132tan 14°

4.(2017·河南六市联考)设a=cos 2°-sin 2°,b=,c=

221-tan214°

1-cos 50°

,则有( )

2

A.a<c<b C.b<c<a

B.a<b<c D.c<a<b

解析 由题意可知,a=sin 28°,b=tan 28°,c=sin 25°, ∴c<a<b. 答案 D

π?3?

5.(2016·肇庆三模)已知sin α=且α为第二象限角,则tan?2α+?=

4?5?( ) A.-

19

5

B.-

5 19

C.-

31 17

D.-

17 31

424

解析 由题意得cos α=-,则sin 2α=-,

525cos 2α=2cos2α-1=

7. 25

tan 2α+tan

π24

-+1

47π?24?

∴tan 2α=-,∴tan?2α+?===-

4?7π?24??

1-tan 2αtan1-?-?×1

4?7?17

. 31答案 D 二、填空题

π?1π???

6.(2016·石家庄模拟)若cos?α-?=,则sin?2α-?的值是________.

3?36???π?π?π????

解析 sin?2α-?=sin?2?α-?+?=

3?2?6????π?π?17??

cos 2?α-?=2cos2?α-?-1=2×-1=-. 3?3?99??7

答案 - 9

π??π3π???π?

7.(2017·南昌一中月考)已知α∈?,?,β∈?0,?,且cos?-α?

4?4??4??4?312?5?

=,sin?π+β?=-,则cos(α+β)=________. 513?4?

解析 ∵α∈??π?4,3π??π?3

4??,cos??4-α??=5,

∴sin??

π?4-α?

?4?

=-5, ∵sin??5?12?4π+β??=-13,∴sin??π?12

?4+β??=13,

又∵β∈???0,π?4??π?5

?,∴cos??4+β??=13

∴cos(α+β)=cos?????π?4+β???π??35412

33?-??4-α????=5×13-5×13=-65.

答案 -

33

65

8.已知θ∈???0,π?2??,且sin?

??θ-π?4??=210,则tan 2θ=________.

解析 sin?

??

θ-π?4??=210,得sin θ-cos θ=15,①

θ∈?

?

?0,π?2??,①平方得2sin θcos θ=2425,可求得sin θ+cos θ=75,∴sin θ=45,cos θ=35,∴tan θ=42tan θ24

3,tan 2θ=1-tan2 θ=-7.

答案 -24

7 三、解答题

9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若a⊥b,求

sin θ-cos θsin θ+cos θ的值;

(2)若|a-b|=2,θ∈???0,π?2??,求sin?

?π??θ+4??的值.

解 (1)由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0, 所以sin θ=2cos θ, 所以

sin θ-cos θsin θ+cos θ=2cos θ-cos θ2cos θ+cos θ=1

3

. (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1)可得,

|a-b|=(cos θ-2)2+(sin θ+1)2= 6-4cos θ+2sin θ=2, 即1-2cos θ+sin θ=0.

π??

又cos2θ+sin2θ=1,且θ∈?0,?,

2??34

所以sin θ=,cos θ=.

55

π?22?34?72?θ+?=(sin θ+cos θ)=?+?=所以sin?. 42?55?10??210.设cos α=-

513ππ

,tan β=,π<α<,0<β<,求α-β的值. 5322

53π25

,π<α<,得sin α=-,tan α=2,525

解 法一 由cos α=-1

又tan β=,

3

于是tan(α-β)=

tan α-tan β=

1+tan αtan β2-

13

1

1+2×

3

=1.

又由π<α<0<β<

3π, 2

πππ3π可得-<-β<0,<α-β<, 2222

. 4

53π25,π<α<得sin α=-. 525

因此,α-β=

法二 由cos α=-

1π13

由tan β=,0<β<得sin β=,cos β=.

321010所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= ?25??3??25??1?

?-???-?-???=-.

25??10??5??10??

又由π<α<

3ππππ3π

,0<β<可得-<-β<0,<α-β<,因此,α-β22222

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题 1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-3 2B.3 21C.- 21 D. 2解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°1sin 10°=sin 30°=. 2答案 D 2.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°·

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