江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题

20. (本小题满分16分) 设函数f(x)＝x－asin x(a＞0)．

(1) 若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

1

(2) 设a＝，g(x)＝f(x)＋bln x＋1(b∈R，b≠0)，g′(x)是g(x)的导函数．

2① 若对任意的x＞0，g′(x)＞0，求证： 存在x0，使g(x0)＜0； ② 若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证： x1x2＜4b2.

2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修41：几何证明选讲)

如图，A，B，C是圆O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：DB·DC＋OD2＝OA2.

B. (选修42：矩阵与变换)

在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩阵分别10?20???为M＝??，矩阵N＝??，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面积． ?02??01?

C. (选修44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，求以点P(2，

D. (选修45：不等式选讲)

1－a＋c1

已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，求证：≥2.

2c（a＋2b）

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．

(1) 求概率P(X＝600)；

(2) 求X的概率分布及数学期望E(X)．

ππ

)为圆心且与直线l：ρsin(θ－)＝2相切的圆的极坐标方程． 33

23. 已知(1＋x)2n1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n1，n∈N*.记Tn＝(1) 求T2的值；

＋＋

(2k＋1)an－k.

(2) 化简Tn的表达式，并证明：对任意的n∈N*，Tn都能被4n＋2整除．

2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)

数学参考答案及评分标准

2＋6419

1. {1，3} 2. 3. 30 4. 125 5. 6. 7. 43 8. 9. －6 10. 8

33271

11. (x－1)2＋y2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4， 4

13

15. 解：(1) 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，)，

22所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分) 因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝1， 1

所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－.(6分)

2

5π3113

(2) 因为α＝，所以a＝(－，)．故b＋c＝(－sin β－，cos β＋)．(8分)

62222因为a∥(b＋c)，所以－

3311

(cos β＋)－(－sin β－)＝0. 2222

π1131

化简得sin β－cos β＝，所以sin(β－)＝.(12分)

22232

ππ2ππππ

因为0<β<π，所以－<β－<.所以β－＝，即β＝.(14分)

333362

16. 证明：(1) 在三棱柱ABC -A1B1C1中，BB1∥CC1. 因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1.(2分) 又AE⊥BB1，AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，所以BB1⊥平面AEF.(5分) 因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C.(7分) (2) 因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE＝∠ACF，AB ＝ AC， 所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE ＝CF.(9分)

又由(1)知，BE∥CF，所以四边形BEFC是平行四边形．故BC∥EF.(11分) 又BC?平面AEF，EF?平面AEF，所以BC∥平面AEF.(14分)

17. 解：设P(x0，y0)，Q(x1，y1)．

(1) 在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，从而b＝3.(2分) xy??a2＋9＝1，x2（x＋3）26a2

由? 得2＋＝1，所以x0＝－.(4分)

a99＋a2

??y＝x＋3

2

2

因为PB1＝2

x20＋（y0－3）＝6a2

2|x0|, 所以42＝2·，解得a2＝18.

9＋a2

x2y2

所以椭圆的标准方程为＋＝1.(6分)

189

y0－3

(2) (方法1)直线PB1的斜率为kPB1＝，由QB1⊥PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1＝

x0

－x0

. y0－3

x0

于是直线QB1的方程为y＝－x＋3.

y0－3同理，QB2的方程为y＝－

x0

x－3.(8分) y0＋3

y20－9

联立两直线方程，消去y，得x1＝.(10分)

x0

x2y2x2y2x20002

因为P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y0－9＝－.

1891892x0

所以x1＝－.(12分)

2

S△PB1B2?x0?所以＝＝2.(14分)

S△QB1B2?x1?

(证法2)设直线PB1，PB2的斜率为k，k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋3. 1

由QB1⊥PB1，直线QB1的方程为y＝－x＋3.

kx2y2

将y＝kx＋3代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋12kx＝0，

189

12k

因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0≠0，从而x0＝－2.(8分)

2k＋1x2y2x2y2x20002

因为P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y0－9＝－.

1891892y0－3y0＋3y2110－9

所以k·k′＝·＝2＝－，得k′＝－.(10分)

x0x0x022k由QB2⊥PB2，所以直线QB2的方程为y＝2kx－3. 1??y＝－kx＋3，6k6k

联立? 则x＝2，即x1＝2.(12分)

2k＋12k＋1

??y＝2kx－3S△PB1B2?x0?所以＝＝

S△QB1B2?x1?

???

－

12k2k2＋1

＝2.(14分) 6k

2k2＋1

???