《微分方程数值解》实验指导书2010

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微分方程数值解

实验指导书

李光云

数学与计算科学学院

二O一O 十月

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一、概述

本课程实验指导书是根据陆金甫，关治编著的《偏微分方程数值解法(第二版)》编写的。 通过上机实验，可帮助学生理解偏微分方程数值计算方法的基本思想，巩固学生所学过的算法，同时让学生进一步学习和掌握Matlab软件在数值计算方面中的应用。

二、实验环境

本书选择的实验环境是计算机以及软件Matlab(版本6.5以上)一套。

三、实验课时安排

共7次实验，16课时，试验五为综合设计性试验4课时，其它实验2个课时。

四、实验要求

上机完成实验指导书中所规定的内容，自行按实验指导书要求完成程序设计和调试，并提交每次实验的实验报告，附带算法程序清单和算法输出结果。

五、实验考核要求

上机完成试验内容，并提交一份算法程序清单和数值结果。

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实验一 双曲型方程的迎风格式

一、实验目的

1、掌握双曲型方程的迎风格式的算法思想,格式稳定的条件； 2、培养编程与上机调试能力。

二、实验课时：2个课时 三、实验准备

1、了解偏微分方程的分类，以及双曲型方程的特点；

2、熟悉求解偏微分方程有限差分法的基本原理，双曲型方程迎风格式的推导和特点，熟悉用迎风格式求解双曲型方程的算法步骤；

3、熟悉Matlab软件的基本命令及其数值计算中的基本命令和函数。 4、了解双曲型方程迎风格式稳定的条件。

四、实验内容

用双曲型方程的迎风格式

?1un?unjjnunj?uj?1?un?1j?a?a?unjhnun?uj?1jh?0, a?0

??0, a<0其中，?,h分别为时间步长和空间步长。求解初值问题

??u?u?0,x??,t??0,T?,?? ??t?x?u?x,0??u0?x?,?其中

?1,x?0, u0?x???0,x?0.?取h?0.01,??

1.计算?0,1?区间的u值至tn?0.5,并画出解的图形。 2五、基本思想及主要步骤

考虑对流方程

?u?u?a?0,x??,t?0 ?t?x其a为给定常数。其迎风格式的基本思想是在方程中关于空间的偏导数用在特征线

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方向一侧的单边差商代替，得到对流方程的迎风格式

?1un?unjj?un?1j?a?anunj?uj?1?unjhnunj?1?ujh?0, a?0

?都在a??1,???0, a<0用Fourier方法讨论格式的稳定性可知，以上两个格式都是条件稳定的，而且

?h时稳定。

程序设计步骤如下：

(1)首先由a的正负确定用哪个格式，再把格式改写为显示格式； (2)利用空间步长定义一个零向量用于存储u值； (3)将初值离散存于u向量内；

(4)利用差分格式沿着t坐标逐层计算u值，每计算一次覆盖存储于u向量内，直到算到tn?0.5层，然后输出结果；

(5)利用得到的u向量画出在tn?0.5时u的函数图像。

六、实验提示：

此算法可以编写M程序，使得该程序可以实现对不同的a，时间步长和空间步长求解，由于不用符号的a用到的格式不同，迎风格式在条件a??1,??稳定，故可以在程序里加一个判断部分，当不稳定时及时报警跳出。

?h时

七、实验结果记录和要求

1、实验结果输出，画出解的图形；

2、把得到的解和初值问题的解析解比较，观察比较结果； 3、递交实验报告。

八、思考：

若考虑对流方程的差分格式

?1un?unjjnunj?uj?1?un?1j?a?a?unjhnunj?1?ujh?0, a<0

?是否也能得到差分格式稳定？

?0, a>0