2017湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案解析版)

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在△COE与△BOE中，∴△COE≌△BOE， ∴∠OCE=∠ABD=90°， ∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径， ∴BC⊥AD， ∵AB⊥BD， ∴△ABC∽△BDC， ∴

2

，

，

∴BC=AC?CD， ∵AC=3CD， ∴BC=AC， ∴tan∠A=

=

，

2

2

∴∠A=30°．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

26．（10分）如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C． ①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；

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②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．

【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；

（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；

②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx+（﹣1﹣4m）x，由

，消去y得到mx﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m+16m=0，求出m

的值即可解决问题．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°， ∴AO=BO， ∴?OA?OB=8， ∴OA=OB=4，

∴A（4，0），B（0，4）．

（2）①当等C在点A的左侧时，易知C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0）， 顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax+4，（4，0）代入得到a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x+4．

当点C在点A的右侧时，△ABC是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存在，

综上所述，抛物线的解析式为y=﹣x+4．

②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4）， 设抛物线的解析式为y=mx+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，

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∴抛物线的解析式为y=mx+（﹣1﹣4m）x， 由

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，消去y得到mx﹣4mx﹣4=0，

2

由题意△=0，∴16m+16m=0， ∵m≠0， ∴m=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+3x， 由

∴N（2，2）．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法、一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

27．（12分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N． （1）证明：点A、D、F在同一条直线上；

（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由； （3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．

，解得

，

2

【分析】（1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可证明．

（2）有最小值．设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，由△ECB∽△HEA，推出可得=

2

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=，

，推出y=x﹣x+1=（x﹣）+，由a=1＞0，y有最小值，最小值为．

（3）只要证明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠

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BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=

a，可得a+

a=1，求出a即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴∠ECF=∠DCB， ∴∠DCF=∠BCE， ∴△DCF≌△BCE， ∴∠CDF=∠B=90°， ∴∠CDF+∠CDA=180°， ∴点A、D、F在同一条直线上．

（2）解：有最小值．

理由：设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x， ∵四边形CFGE是矩形， ∴∠CEG=90°， ∴∠CEB+∠AEH=90° CEB+∠ECB=90°， ∴∠ECB=∠AEH， ∵∠B=∠EAH=90°， ∴△ECB∽△HEA， ∴∴=

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=， ，

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∴y=x﹣x+1=（x﹣）+， ∵a=1＞0，

∴y有最小值，最小值为． ∴DH的最小值为．

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