2017年浙江省宁波市中考数学试卷及解析

（2）设销售甲种商品a万件，依题意有 900a+600（8﹣a）≥5400， 解得a≥2．

答：至少销售甲种商品2万件．

【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．

24．（10分）（2017?宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．

【考点】LB：矩形的性质；KR：勾股定理的证明；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°， ∵BF=DH，

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∴AH=CF，

在Rt△AEH中，EH=在Rt△CFG中，FG=∵AE=CG， ∴EH=FG， 同理：EF=HG，

∴四边形EFGH为平行四边形；

， ，

（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1， 设AE=x，则BE=x+1， 在Rt△BEF中，∠BEF=45°， ∴BE=BF， ∵BF=DH， ∴DH=BE=x+1， ∴AH=AD+DH=x+2， 在Rtt△AEH中， tan∠AEH=2， ∴AH=2AE， ∴2+x=2x， 解得：x=2， ∴AE=2．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．

25．（12分）（2017?宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，

）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，

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连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；

（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；

②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN． 【解答】解：

（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，

令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3， ∴A（﹣4，0），

设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0）， 把A、C坐标代入可得

，解得

，

=9++c，解得c=﹣3，

∴直线AC的函数表达式为y=x+3；

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（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=∴∠OAB=∠OAD，

∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点， ∴OM=MP，

∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON， ∴∠APM=∠AON， ∴△APM∽△AON；

=，在RtAOD中，tan∠OAD==，

②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，

∵点M的横坐标为m， ∴AE=m+4，AP=2m+4， ∵tan∠OAD=，

∴cos∠EAM=cos∠OAD=， ∴

=，

，

∴AM=AE=

∵△APM∽△AON， ∴

=

，即．

=

，

∴AN=

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的

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