全概率公式与贝叶斯公式

§1.4 全概率公式与贝叶斯公式

教学对象： 数学专业本科生

教学目标： 让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用 课 型： 新授课 课 时： 1课时 重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实

际中的应用

教学方法： 讲授法，情境问题法

教学安排： （1）课堂导入（2）讲授新课、举例（3）拓展与思考（4）思考（5）

布置作业

教学过程：

（一） 给出引例，导入新课

在前面的学习中，我们已经熟悉了求概率的几种方法：频率方法、古典方法和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时，这些方法用起来就显得力不从心了。

引例 小王要去外地出差几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾。若已知如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为0.8，如果几天内邻居忘记浇水，花存活的概率为0.3，假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概率均为0.5，问：几天后他回来花还活着的概率。

讨论：这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗？

【评析】对此类较复杂的概率问题，用我们以前的知识就解决不了了。

（二） 讲授新课

在上例中，事件“花活着”有两种情况可以导致它发生：记得浇水和忘记浇水，而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分，称为一个划分，具体的定义如下：

1. 划分

定义1 设B1,B2,?,Bn??，且满足 ①?Bi??（完全性）；

i?1n②对?i,j，Bi?Bj??（互斥性）。

则称B1,B2,?,Bn 构成?的一个划分。 【课堂提问】

① 能举出日常生活中划分的例子吗？ ② 最简单的划分是怎样的？

③ 仔细观察上图，当B1,B2,?,Bn 构成?的一个划分，B1,B2,?,Bn是否也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分？它们如何表示？ 【评析】 ① 一块玻璃摔在地上破碎了，各个碎片就是原来玻璃的一个划分。 ② 最简单的划分就是B和B.

③ 当B1,B2,?,Bn 构成?的一个划分，B1,B2,?,Bn也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分，它们分别表示为AB1,AB2,?,ABn，当然，它们中间可能有的是?。

2. 全概率公式

在上例中，设B=“记得浇花”， B=“忘记浇花”，则B和B就构成了?的一个划分，设事件A=“花还活着”，则A也被B和B划分为两个互不相容的部分：AB,AB。

由前面概率的性质知道：P(A)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)

?P(A|B)?P(B)?P(A|B)?P(B) =0.8?0.5+0.3?0.5

=0.55。

性质1.4.3（全概率公式）设B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分，如果

P(Bi)?0,i?1,2,?,n，则对任一事件A有

P(A)??P(Bi)P(A|Bi).

i?1n证明：略

【例题1】 某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？

解：设B1=“他是谨慎的”， B2=“他是一般的”， B3=“他是冒失的”，则

，由全概率公式： B1,B2,B3构成了?的一个划分，设事件A=“出事故”

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)

i?13?0.05?20%?0.15?50%?0.30?20%

=0.125。

3.贝叶斯公式

在“浇花”的例子中，我们反过来思考这样一个问题：假若小王回来，发现

花还活着，那么，邻居记得浇花的概率是多大？

即已知结果，要求这个结果是由某种原因所导致的概率，这就是贝叶斯公式解决的问题。

性质1.4.4（贝叶斯公式） 设B1,B2,?,Bn 是样本空间?的一个划分，则

P(Bi|A)?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n,i?1,2,?,n.

证明：略。

回到上面的例子中，可以求出当发现花还活着，邻居记得浇花的概率

P(B|A)?P(B)P(A|B)0.5?0.8??0.7271.

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.5?0.8?0.5?0.3【例题2】

某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？ 【猜猜看】

师：评大家的直觉，此概率大概为多少？ 生：??

师：我们用贝叶斯公式计算一下，看看谁猜得更接近些。 解：记事件B?“被检查者患有肝癌”， A?“检查结果成阳性”，由假设，

P(B)?0.0004,P(B)?0.9996,P(A|B)?0.99,P(A|B)?0.001,由贝叶斯公

式，得

P(B|A)?P(B)P(A|B)0.0004?0.99??0.284.P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.0004?0.99?0.9996?0.001 【思考】这个结果多少让人觉得惊讶，既然检查结果成阳性真的患肝癌的概率只有0.284，如何确保诊断的无误呢？ 对！方法就是——复诊！复诊时，此人患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284。

这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患病的概率进行了修正，因此将由贝叶斯公式求出的概率成为修正概率。

假若第二次检查还是呈阳性，我们类似可以计算出他患肝癌的概率

P(B|A)?P(B)P(A|B)0.284?0.99??0.997.

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.284?0.99?0.716?0.001上式表明：如果第二次复查结果仍然呈阳性，那么他患病的概率就达到了99.7%，此例说明了复查可以提高诊断的准确性。

（三） 课堂小结

? 全概率公式——由因求果，贝叶斯公式——执果寻因

? 关键点：什么时候适合用全概率公式和贝叶斯公式？一个事件发生的前

提有多种可能，每一种可能都可导致此事件发生。

（四） 思考

在伊索寓言《狼来了》中，当小孩第三次叫“狼来了”的时候，没有人再相信他，你能用贝叶斯公式解释吗？

（五） 布置作业

习题1.4 P52: 15、16