高考数学一轮总复习第五章第4节数列求和练习

【创新大课堂】（新课标） 高考数学一轮总复习 第五章 第4节 数

列求和练习

一、选择题

1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项的和为( )

A．120 C．75

B．70 D．100

SnnSnSn10×9

[解析] ∵＝n＋2，∴{}的前10项和为10×3＋＝75.

nn2

[答案] C

2．(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )

A．n(n＋1) C.

B．n(n－1) D.

nn＋

2

nn－

2

2

[解析] 由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)＝a2(a2＋12)，解得a2

＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋

[答案] A

1121231234

3．(2015·北京师大附中统测)已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，2334445555那么数列{bn}＝?

A．4?1－C．1－

??anan＋1?

nn－

2

×2＝n(n＋1)．

1?

?的前n项和为( )

1??1

B．4?－?

?2n＋1?11D.－ 2n＋1

123n1＋2＋3＋…＋nn1＋＋＋…＋＝＝，bn＝n＋1n＋1n＋1n＋1n＋12anan＋1

?

?

1? n＋1??

1

n＋1

[解析] 由题意知an＝

1?1??1?1??11??1

＝4?－，所以b1＋b2＋…＋bn＝4?1－?＋4?－?＋…＋4?－??＝

?nn＋1??2??23??nn＋1?11??1??111

4?1－＋－＋…＋－＝4?1－. ?nn＋1??n＋1??223?

[答案] A

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)

n－1

·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

1

A．200 C．400

B．－200 D．－400

[解析] S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

[答案] B 5．数列an＝

n1n＋9

，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y10

＋n＝0在y轴上的截距为( )

A．－10 C．10

[解析] 数列的前n项和为 11＋＋…＋1×22×3n1

n＋

＝1－

1n9＝＝， n＋1n＋110

B．－9 D．9

∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9. [答案] B

6．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，

b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于 ( )

A．126 C．132

[解析] bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg

??b1＋2d＝18，

∴{bn}为等差数列．∴?

?b1＋5d＝12，?

B．130 D．134

an＋1

＝lg q(常数)， an??d＝－2，∴?

?b1＝22.?

由bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，∴{bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S11、S12最大且S11＝S12＝132.

[答案] C 二、填空题

7．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1) (n∈N＋)，则S100＝________.

[解析] 由an＋2－an＝1＋(－1)知a2k＋2－a2k＝2，

nna2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.

∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋

＋

2

＝2 600.

2

[答案] 2 600

8．数列{an}的前n项和Sn＝n－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________. [解析] 当n＝1时，a1＝S1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.

??－1 ∴an＝?

??2n－5

2

n＝n

.

5

令2n－5≤0，得n≤，∴当n≤2时，an<0，当n≥3时，

2

an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66.

[答案] 66

9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an＝________. [解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－1－(2又∵a1＝1适合上式．∴an＝2

2

2

n222

nn－1

－1)＝2

n－1

n－1

，

n－1

，∴an＝4

2

.

∴数列{an}是以a1＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a＋a＋…＋an＝1n[答案] (4－1)

3

10．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n＋3n(n∈N＋)，则＋＋…＋23

2

21

22

2

－41－4

n1n＝(4－1)． 3

a1a2

ann＋1

＝________.

[解析] 令n＝1得a1＝4，即a1＝16，当n≥2时，an＝(n＋3n)－[(n－1)＋3(n－

2

2

1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)，当n＝1时，也适合上式，所以an＝4(n＋1)(n∈N*)．于是

＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n＋6n. n＋123n＋1[答案] 2n＋6n 三、解答题

11．(2015·乌鲁木齐第一次诊断)已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求使

<0.001成立的正整数n的最小值．

2

22

ana1a2an2

[解] (1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，

3

??2＋d＝4×2q，

依题意得?

?＋2dq＝6，?

d＝2，??

解得?1

q＝??2

d＝－5，??

，或?3

q＝－.?8?

(舍)

1n－2

∴an＝()，bn＝2n.

212n－2

(2)由(1)得abn＝a2n＝()，

212n－2

∵abn<0.001，即()<0.001，

2∴2

2n－2

>1 000，

∴2n－2≥10，即n≥6，

∴满足题意的正整数n的最小值为6.

12．(2015·江南十校联考)已知直线ln：y＝x－2n与圆Cn：x＋y＝2an＋n交于不同12

的两点An、Bn，n∈N＋，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|.

4

(1)求数列{an}的通项公式；

?n为奇数?2n－?(2)若bn＝

?ann为偶数?

2

2

，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解] (1)由题意知，圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝n，圆Cn的半径rn＝2an＋n， 1222

∴an＋1＝(|AnBn|)＝rn－dn＝(2an＋n)－n＝2an，

2又a1＝1，∴an＝2

n－1

.

(2)当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn) ＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋2＋…＋2＝＝

3

n－1

)

nn－

2

＋

n－21－4

n

n2－n2

＋(2－1)． 23

当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＋1＝－1)，

而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2， ∴Tn＝

nn＋

2

－n＋

22n＋1n＋n2n＋1＋(2－1)＝＋(2323

2

n2＋n1

＋(2－2)．

23

n 4

??2＋3∴T＝?n＋n1

??2＋3

n2

n2－n2

n－－

n为偶数n为奇数

n

5