二次型练习题

二次型习题

一、填空题

2221. 实二次型f(x1,x2,x3)?x1 ?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的矩阵为 ．

n2. 二次型f?x1,,xn???xi2?i?11?i?j?n?xixj的矩阵为 .

2223. 二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2??x3?2?x2x3是正定的充分必要条件是?与?满

足 。

4.

0??11?是正定阵，则k满足条件__________________。

A??1k0????00k?2??为 。

T5. 实对称n阶半正定矩阵A的秩为r?n，则二次型XAX的规范形

?132??x1?????6. 实二次型f(X)??x1,x2,x3??541??x2?的矩阵为 。

?433??x????3?7.

n阶实对称矩阵A正定，则二次型XTAX的规范形

为 。

8. 二次型

f(x1,x2?xn)??2x1x2?2x1x3???2x1xn???2x2x3???2x2xn????2xn?1xn的矩阵为 。

二、选择题

1. 设A是实对称矩阵，二次型f?X??X?。 AX正定的充要条件是（ ）

（A）A?0； （B）负惯性指数为0 ；

（C）A的所有主对角线上的元素大于0； （D）存在可逆矩阵C，使A?C?C

A?AX必是（ ）2. 设A是任意实矩阵，那么二次型f?x??X?．

A、半正定； B、半负定； C、正定； D、负定； 3. 实方阵A为正定阵,则下列结论正确的是( )。

A. |A|?0 B. |A|?0 C. |A|?0 D. 不确定

1

224. 已知二次型f(x1,x2,x3)?XTAX通过正交线性替换化为标准形y1,则矩阵A?2y2（ ）。

A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定

5. 二次型f(x1,,xn)的系数矩阵是（ ）时必是正定的。

A. 实对称且主对角线上元素为正 B.实对称且顺序主子式值都为正数 C. 实对称且所有元素为正 D.实对称且行列式值为正数

226. 已知二次型f(x1,x2,x3)通过非退化线性替换化为标准形y1,则二次型?3y2。 f(x1,x2,x3)（ ）

A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定

三、计算题 1. 设二次型

22f(x1,x2,x3)?x12?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3

问?取何值时，f为正定二次型？

2222. 化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?4x1x3?x2?4x3?3x2x3为标准形，写出所作的非

退化的线性替换．并回答下列问题：

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？

（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？

3. 化二次型f(x1x2x3)?x1x2?x2x3为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下

列问题：

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？

4. 化二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?2x2x3?3x1x3为标准形，写出所作的非退化的线性替

换．并回答下列问题：

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？

5. 化二次型f(x1,x2,x3)??4x1x2?2x1x3?2x2x3为标准形，写出所作的非退化的线性

替换．并回答下列问题：

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？

2

226. 用合同变换法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x1x2?2x2x3为标准形；写出所作

的非退化线性替换；并分别写出其实数域和复数域上的规范形。 7. 试讨论a取什么值时， n元二次型a

?xi?1n2i?(?xi)2是正定的？

i?1n 3