7微分方程数值解课件-11

第6章 常微分方程初值问题数值解法

本章探讨常微分方程特解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍求常微分方程初值问题的常用方法和有关知识。

重点论述Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法的原理、构造、局部截断误差和稳定性等内容。

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6.1 实际案例

工程技术里某些振动问题可以表示为单摆的运动，其运动规律的微分方程为：

???g??sin??0?l????(0)?30?

?(0)?0???怎样求出其特解?(t)？

该微分方程不能用通常的解析方法来求解！ 怎样解不能用解析方法求解的微分方程特解问题

是本章要解决的问题。

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6.2 问题的描述和基本概念

1、常微分方程初值问题 ? 一般形式

?y??f(x,y)? (a?x?b) （6.1） y(a)?y0?式中f(x,y)已知，y(a)?y0称为初值条件。

? 初值问题的数值方法和数值解

求函数y?y(x)在若干离散点xk上的近似值yk(k?0,1,?,n)的方法称为初值问题的数值方法，而称y(k?0,1,?,n)为初值问题的数值解。

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2. 建立数值解法的思想与方法

微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式。

设区间[a,b]上的一组节点为

a?x0?x1???xn?b

距离hk?xk?1?xk称为步长。

求数值解一般是从y0开使逐次顺序求出y1,y2,?。 初值问题的解法有单步法和多步法两种： ? 单步法：计算yk?1时只用到y一个值；

? 多步法：计算yk?1时要用yk,yk?1,?,yk?l多个值。 数值解法还有显格式和隐格式之分。

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