2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷(6)

（1）求证：点D是AB的中点； （2）求点O到直线DE的距离．

【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．

【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又因为BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC是圆的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， 又∵AC=BC， ∴AD=BD，

即点D是AB的中点；

（2）证明：连接OD， ∵AD=BD，OB=OC， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AC，OD=AC=×6=3， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥DO，

∴点O到直线DE的距离为3．

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【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

25．（11分）（2014?沂水县二模）在特殊四边形的复习课上，王老师出了这样一道题： 问题情境：

如图2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系． 经过小组讨论后，小聪建议分以下两步进行，请你解答： （1）特殊情况，探索结论

当菱形ABCD是正方形时（如图1），EG与FH有怎样的数量关系呢？

小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构造全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G、H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，在△HNF和△GME中，有∠GME=∠HNF=90°，由正方形的性质可得GM=HN，能否从已知条件得到∠MGE=∠NHF呢？请你根据小聪的思路完成解答过程； （2）特例启发，解答题目

猜想：原题中EG与FH的数量关系是 EG=FH ，并说明理由． （3）反思提升，拓展延伸

课后小聪对本题作了反思，提出了如下猜想：将题目中的菱形ABCD改为?ABCD（如图3），AB=a，AD=b，其他条件不变，则明理由．

．小聪的猜想正确吗？请说

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【考点】四边形综合题．

【分析】（1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；

（2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据菱形面积公式求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；

（3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据平行四边形面积公式求出可．

【解答】（1）解：EG=FH，

理由是：如图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°， ∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，

∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB，四边形DCNH是平行四边形， ∴DC=HN=AB，AD=GM=BC， ∴HN=GM，

∵∠ADC=∠HOE=90°，

∴∠DHO+∠DGE=360°﹣90°﹣90°=180°， ∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°， ∴∠HFN=∠GEM， ∵HN⊥BC，GM⊥AB， ∴∠GME=∠HNF=90°，

，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME∽△HNF即

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在△GME和△HNF中∴△GME≌△HNF， ∴EG=FH；

（2）EG=FH，

理由是：如图2，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是菱形，

∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，

∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN， ∴GM=HN，

∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°， ∵∠ADC=∠HOE，

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180° ∴∠DHO+∠DGE=360°﹣180°=180°， ∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°， ∴∠HFN=∠GEM， 在△GME和△HNF中∴△GME≌△HNF（AAS）， ∴EG=FH．

，

（3）正确；

理由是：如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB，

∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN， ∵AB=a，AD=b，

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