2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第四章 第6讲 第2课时 正、余弦定理的综合问题

又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝π

又A为三角形的内角，所以A＝.

6

3， 2(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×

3

≥2bc－3bc， 2

1

所以bc≤4(2＋3)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋3，故△ABC面积的最大值为2＋3.

2

[综合题组练]

1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )

A.5 C.7

B.6 D．22

解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C.

asin A＋bsin B－csin C232．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝23.若b∈[1，

sin Bsin C33]，则c的最小值为 ．

asin A＋bsin B－csin C23a2＋b2－c2a2＋b2－c23

解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，sin Bsin C32ab32ab1

即3cos C＝3sin C，所以tan C＝3，故cos C＝，所以c2＝b2－23b＋12＝(b－3)2＋9，因为b∈[1，

23]，所以当b＝3时，c取最小值3.

答案：3

3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3

accos B，且sin A＝3sin C. 2

(1)求角B的大小；

(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长． 13

解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，

22所以tan B＝3.

π

又0＜B＜π，所以B＝.

3

(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.

由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝27. b2＋c2－a2（27）2＋22－627

所以cos A＝＝＝－.

2bc142×2×27因为D是AC的中点，所以AD＝7.

所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋(7)2－2×2×7×?－

?

7?＝13. 14?所以BD＝13.

4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15. (1)求sin C；

→→(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求DA·DC的最大值．

43

解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，得cos B

554324

＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. 5525

ACAB(2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝

sin Bsin C→→

∠ABC时DA·DC取得最大值，

m2＋n2－524

设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，

2mn58

故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25， 5125

解得mn≤，

2

4125→→4

故DA·DC＝mn≤×＝50，

552510

当且仅当m＝n＝时，等号成立，

2→→故DA·DC的最大值为50.